Archives de catégorie : géométrie

Uniquement avec les aires…

Pour commencer deux petits lemmes sur les aires :

\bullet Soient ABC et ABD deux triangles tels que (AB) et (DC) soient parallèles, alors \mathscr{A}(ABC)=\mathscr{A}(ABD)

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On trace les parrallèles à (AB) et (AD) , elles se coupent en E, et l’aire de chaque triangle est égale à la moitié de celle du parallèlogramme ABED.

\bullet Soit ABC un triangle, Q un point de (CB) et P un point de (AQ), alors \dfrac{\overline{QC}}{\overline{QB}}=\dfrac{\mathscr{A}(QCA)}{\mathscr{A}(QBA)}…. =\dfrac{\mathscr{A}(QCP)}{\mathscr{A}(QBP)} pour les mêmes raisons… =\dfrac{\mathscr{A}(PCA)}{\mathscr{A}(PBA)} par différence (chevron)

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On utilise le fait que ces triangles ont le même hauteur.

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Birapport (En cours de rédaction!)

Birapport de quatre points:

Définition:

Soit D une droite projective et soient a,b,c,d quatre points de D, avec a,b,c distincts.
Soit h l’unique homographie de D surP^1(k) définie par h(a) = \infty, h(b) = 0, h(c) = 1.
On appelle birapport des quatre points a,b,c,d pris dans cet ordre l’élément h(d) \in P^1(k) = k \cup {\infty} et on le note [a,b,c,d].
Soit f : d \rightarrow d' une homographie. On a l’égalité :
[a,b,c,d] = [f(a), f(b), f(c), f(d)] . les perspectives seront par la suite des homographies particulièrement utilisées.

Calcul du birapport:

Soit D une droite projective et soient a,b,c,d quatre points de D, avec a,b,c distincts, on a la formule suivante:
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Exercices sur les angles.

 

1–Les hauteurs dans un triangle

Soit ABC un triangle quelconque, H le point d’intersection des hauteurs issues de A et B.

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Les points A,B,A’,B’ se situent sur un même cercle, on en déduit:

(\overrightarrow{B'A'},\overrightarrow{B'B})=(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AB})

Les points C,A’,H et B’ se situent sur un même cercle, on en déduit:

(\overrightarrow{B'C},\overrightarrow{B'A'})=(\overrightarrow{HC'},\overrightarrow{HA})

La mesure de l’angle (\overrightarrow{C'A},\overrightarrow{C'H}) est donc \dfrac{\pi}{2} ce qui démontre le concours des hauteurs dans un triangle.

2–Les longueurs des côtés d’un triangle sont proportionnelles aux sinus des angles opposés
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