Probabilités continues

Soit \phi(M,M') une une fonction de deux points parcourant respectivement deux aires A et A' .
Si \phi varie dans un certain intervalle(\alpha,\beta) quelle est la probabilité pour que \phi soit comprise entre \gamma et \gamma+d\gamma

La probabilité cherchée est de la forme \theta(\gamma)d\gamma avec bien sûr

    \[\displaystyle\int_\alpha^\beta \theta(\gamma)d\gamma =1\]

.

Si M est fixe, la mesure de l’aire du secteur correspondants aux points M' tels que \gamma\leq \phi \leq \gamma+d\gamma est de la forme F(M,\gamma)d\gamma et la probabilité pour que M' soit dans ce secteur est \dfrac{1}{A'}F(M,\gamma)d\gamma

F pouvant être considéré comme constant sur un élément d’aire dx\;dy entourant le point M, on obtient finalement

\theta(\gamma)=\dfrac{1}{A\;A'}\displaystyle\iint_A F(M,\gamma) dx\;dy

Exemple 1:
M et M' étant deux point d’un segment [AB] de longueur a, déterminer la probabilité pour que MM' ait une longueur inférieure à \dfrac{a}{2}
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les mots clés ! (en cours de rédaction !)

Ci-dessous les définitions des termes les plus couramment utilisés en mathématiques,essentiellement issues du Ramis Tome1  :

\textlinb{a}

Appartenance : On appelle appartenance la relation binaire que l’on écrit x \in y et que l’on lit « x est un élément de y « .

Application: On appelle application toute correspondance dont le graphe est fonctionnel et dont l’ensemble de définition coïncide avec l’ensemble de départ.

Application croissante : Soient (E,\preccurlyeq ) et (F,\leq) deux ensembles ordonnés, on appelle application croissante toute application f : E\rightarrow F telle que : \forall (x,y) \in E^2 \;\;x\preccurlyeq y \Rightarrow f(x)\leq f(y).

Assertion : On appelle assertion tout énoncé ne contenant pas de variable ne pouvant prendre que l’une des deux valeurs logiques « Vrai » ou « Faux ».
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Uniquement avec les aires…

Pour commencer deux petits lemmes sur les aires :

\bullet Soient ABC et ABD deux triangles tels que (AB) et (DC) soient parallèles, alors \mathscr{A}(ABC)=\mathscr{A}(ABD)

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On trace les parrallèles à (AB) et (AD) , elles se coupent en E, et l’aire de chaque triangle est égale à la moitié de celle du parallèlogramme ABED.

\bullet Soit ABC un triangle, Q un point de (CB) et P un point de (AQ), alors \dfrac{\overline{QC}}{\overline{QB}}=\dfrac{\mathscr{A}(QCA)}{\mathscr{A}(QBA)}…. =\dfrac{\mathscr{A}(QCP)}{\mathscr{A}(QBP)} pour les mêmes raisons… =\dfrac{\mathscr{A}(PCA)}{\mathscr{A}(PBA)} par différence (chevron)

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On utilise le fait que ces triangles ont le même hauteur.

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Birapport (En cours de rédaction!)

Birapport de quatre points:

Définition:

Soit D une droite projective et soient a,b,c,d quatre points de D, avec a,b,c distincts.
Soit h l’unique homographie de D surP^1(k) définie par h(a) = \infty, h(b) = 0, h(c) = 1.
On appelle birapport des quatre points a,b,c,d pris dans cet ordre l’élément h(d) \in P^1(k) = k \cup {\infty} et on le note [a,b,c,d].
Soit f : d \rightarrow d' une homographie. On a l’égalité :
[a,b,c,d] = [f(a), f(b), f(c), f(d)] . les perspectives seront par la suite des homographies particulièrement utilisées.

Calcul du birapport:

Soit D une droite projective et soient a,b,c,d quatre points de D, avec a,b,c distincts, on a la formule suivante:
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Une journée sans Maths …