géométrie projective (non terminé)

Résumé:
\bullet On se donne
une forme linéaire non nulle T \in E^* et on considère l’hyperplan vectoriel E_{\infty} défini par T. On pose P(E_{\infty}) =D_{\infty} (c’est un hyperplan projectif) et X = P(E )\setminus D_{\infty }

L’application qui à \overrightarrow{u} \in E_{\infty} et \bar{x}\in X associe \overrightarrow{u}.\bar{x} = \overline{x + T(x)\overrightarrow{u}} est bien définie. C’est une opération de E_{\infty} sur X , simplement transitive, de sorte qu’elle fait de X un espace affine sous E_{\infty}.
Si \bar{a}, \bar{b} sont deux points de X, le vecteur \overrightarrow{ab} est le vecteur de E_{\infty} défini par \overrightarrow{ab}=\dfrac{b}{T(b)}-\dfrac{a}{T(a)} , il est indépendant du choix des représentants des points.

Situation 1 (T=x+y+z)
Soit a(2,1,1) et b(-1,4,1), \overrightarrow{ab}=(-1,\dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{4})

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\bullet On appelle droite affine la trace surX d’une droite projective distincte de D_{\infty}. Une telle droite D est l’image d’un plan vectoriel V de E, distinct de E_{\infty}. La droite vectorielle associée est l’intersection
\overrightarrow{D} = E_{\infty}\cap V et son image dans D_{\infty} est l’unique point à l’infini de D (appelé \underline{\text{direction}} de D).

Situation 1 (T=x+y+z)
Soit a(2,1,1) et b(-1,4,1)
a\wedge b donne l’équation de (ab) soit x+y-3=0 image de x+y-3z=0
\overrightarrow{D}

\bullet On suppose E_{\infty} muni d’une base e_1 , e_2. Soit abc un triangle de X. La mesure de l’aire algébrique du triangle abc relativement à cette base est la moitié du déterminant des vecteurs \overrightarrow{ab} et \overrightarrow{ac} sur la base e_1 , e_2.

Deux droites D et D' sont dites parallèles si les droites projectives associées ont même point à l’infini.
Soit T l’équation de D_{\infty} et F, G les droites d’équations f et g. Les droites F, G sont parallèles si et seulement si on a T(f \wedge g) = 0 .

Si f est une forme définissant une droite F et si a, b sont deux points, les droites F et (ab) sont parallèles si et seulement si on a T(b)f(a) = T(a)f(b).

\bullet Dans le plan affine, on peut définir (indépendamment de toute structure métrique) la \underline{ \text{mesure}\; \text{algébrique}} d’un vecteur de direction donnée.

On suppose qu’on s’est donné une équation f \in E^* de V . Alors, le vecteur \overrightarrow{i} = f \wedge T est un vecteur non nul de\overrightarrow{D } (qu’on appelle un \underline{ \text{vecteur}\; \text{directeur}} de D), et si a, b sont deux points de D, on appelle mesure algébrique du vecteur \overrightarrow{ab} relativement à \overrightarrow{i} le nombre \lambda=\overline{ab} défini par la formule : \overrightarrow{ab}=\lambda \overrightarrow{i}

Soit D une droite affine d’équation f et soient a, b deux points distincts du plan affine. On suppose que D coupe (ab) en m. On a les propriétés suivantes :

1) On a m =\dfrac{f(b)a - f(a)b}{f(b) - f(a)}.

2) On a la formule :\dfrac{\overline{ma}}{\overline{mb}}=\dfrac{f(a)T(b)}{f(b)T(a)}

\bullet \underline{\text{Théorème}\; \text{de}\; \text{Thalès}}

Soient A,B,C trois droites parallèles. Deux droites D,D' coupent respectivement A,B,C en a, b, c ; a', b', c'.

On a la formule : \dfrac{\overline{ab}}{\overline{ac}}=\dfrac{\overline{a'b'}}{\overline{a'c'}}

En effet, soit f une équation de A, on a:
\dfrac{\overline{ab}}{\overline{ac}}=\dfrac{f(b)T(c)}{f(c)T(b)} et \dfrac{\overline{a'b'}}{\overline{a'c'}} =\dfrac{f(b')T(c')}{f(c')T(b')} . Mais, commeB = (bb') est parallèle à A on a f(b)T(b') =f(b')T(b) et de même, f(c)T(c') = f(c')T(b).
Le résultat s’ensuit.
.

\bulletSi maintenant on munit E^* d’une forme quadratique dégénérée telle que T est une base du noyau de cette forme. Cela
permet définir sur le plan affine X,
et sans aucune donnée supplémentaire, les notions de parallélisme et d’orthogonalitée, ainsi que la forme q sur E_{\infty} en posant q(n_f)=q^*(f) et la forme polaire \phi de q appelée produit scalaire.
On définit alors avec des points normalisés q(\overrightarrow{ab})=q(b-a)
et \phi(\overrightarrow{ab},\overrightarrow{ac})= \phi(b-a,c-a)

On parlera de \underline{ \text{plan}\; \text{affine}\; \text{euclidien}} lorsqu’on est dans cette situation.

\sqrt{q(\overrightarrow{ab})} définit alors une distance.

Soient \overline{A} et \overline{B} deux droites affines, l’invariant I^*(\overline{A},\overline{B})=\dfrac{\phi^*(A,B)^2}{q^*(A)q^*(B)} permet de définir la notion d’\underline{\text{angle}\; \text{non} \;\text{orienté}\; \text{de}\; \text{droites}}.

 

Si A, A’ sont parallèles et si B est sécante à A et A’, on a I^*(\overline{A},\overline{B}) = I^*(\overline{A'},\overline{B}). C’est l’égalité des angles « alternes internes »

Un autre invariant de deux droites \dfrac{[A,B,l]^2}{q^*(A)q^*(B)} correspond lui au sinus dans le cas réel et la formule de Lagrange: q^*(A)q^*(B)=\phi^*(A,B)^2+\delta(q^*)[A,B,l]^2 est la traduction de \cos^2\theta+\sin^2\theta=1.

La formule des aires :b \wedge c + c \wedge a + a \wedge b = [a, b, c]l permet alors d’obtenir la formule d’Al Kashi:
q(\overrightarrow{bc})=q(\overrightarrow{ab})+q(\overrightarrow{ac})-2\phi(\overrightarrow{ab},\overrightarrow{ac}), dont découle le théorème de Pythagore.

La quantité I^+([ab),[ac))=\dfrac{\phi(\overrightarrow{ab},\overrightarrow{ac})}{\sqrt{q(\overrightarrow{ab})q(\overrightarrow{ac})}} permet elle de définir la notion d’\underline{\text{angle}\; \text{non}\; \text{orienté}\; \text{de}\; \text{demi-droites}} : \widehat{bac}=ArccosI^+([ab),[ac))

On retrouve alors la formule familière: \phi(\overrightarrow{ab},\overrightarrow{ac})=ab\; ac\; cos\;\widehat{bac}

L’aire algébrique de abc, \dfrac{1}{2}\dfrac{[a,b,c]}{l(a)l(b)l(c)}, s’écrit alors: \dfrac{1}{2}\;ab\;ac\;\sin\;\widehat{bac}.

 

Angles orientés de vecteurs:

Rappelons que le groupe O^+(q) est isomorphe au groupe \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} par l’application qui à \overline{\theta} associe la rotation vectorielle d’angle \overline{\theta}, notée \rho(\overline{\theta}).

Soient v et w deux vecteurs unitaires de E_{\infty}. On appelle angle des vecteurs v et w et on note
(v,w) l’unique élément \overline{\theta} \in \mathbb{R} / 2 \pi \mathbb{Z} tel que \rho(\overline{\theta})(v) = w.

On a alors les propriétés suivantes :

1) (u,w) = (u, v) + (v,w) (relation de Chasles).

2) (u,v) = (u', v') \Leftrightarrow (u, u') = (v, v') (règle du parallélogramme).

La relation de Chasles vaut pour des angles de sommets différents et cette propriété est constitutive de la géométrie euclidienne.

On appelle angle orienté des droites (ab) et (ac) et on note ((ab),(ac)) la classe modulo \pi de l’angle de vecteurs (\overrightarrow{ab},\overrightarrow{ac}).

Soient A,B deux équations de droites normalisées et soient a =l\wedge A et b =l\wedge B les vecteurs unitaires associés. On a les formules cos(a, b) =\phi^*(A,B) et sin(a, b) =[A,B, l].

la formule suivante:

[A;B; l][A;C; l] =\left|\begin{array}{cl} q^*(A)& \phi^*(A,C)\\ \phi^*(B,A)&\phi^*(B,C)\\ \end{array}\right|.

correspond alors à la relation: \cos(\beta +\gamma) = \cos \beta \cos\gamma - \sin \beta \sin \gamma

 

 

 

Une journée sans Maths …