Exercices sur les angles.

 

1–Les hauteurs dans un triangle

Soit ABC un triangle quelconque, H le point d’intersection des hauteurs issues de A et B.

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Les points A,B,A’,B’ se situent sur un même cercle, on en déduit:

(\overrightarrow{B'A'},\overrightarrow{B'B})=(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AB})

Les points C,A’,H et B’ se situent sur un même cercle, on en déduit:

(\overrightarrow{B'C},\overrightarrow{B'A'})=(\overrightarrow{HC'},\overrightarrow{HA})

La mesure de l’angle (\overrightarrow{C'A},\overrightarrow{C'H}) est donc \dfrac{\pi}{2} ce qui démontre le concours des hauteurs dans un triangle.

2–Les longueurs des côtés d’un triangle sont proportionnelles aux sinus des angles opposés

Soit ABC un triangle et O le centre de son cercle circonscrit de rayon R, D le point diamètralement opposé à B.

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(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DB})=(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}) et donc BC=2R \sin \hat{A}

De même que AC=2R \sin \hat{B} et AB=2R \sin \hat{C}.

On en déduit \dfrac{BC}{\sin\hat{A}}=\dfrac{AC}{\sin\hat{B}}=\dfrac{AB}{\sin\hat{C}}

Soit un point P et X , Y et Z ses projetés othogonaux sur (AB), (BC) et (AC) comme sur la figure ci-dessous:

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La propriété énoncée ci-dessus permet alors d’écrire :

\dfrac{BC}{\sin\hat{A}}=2R, dansABC et \dfrac{XZ}{\sin\hat{A}}=AP, dans AXZ

et finalement :XZ=\dfrac{BC\times AP}{2R}

3–La droite de Simpson

Soit ABC un triangle, M un point quelconque du plan, E, F et G les projetés orthogonaux de M sur (AB), (BC) et (AC).

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Les points A,E,M et G se situent sur un même cercle et on en déduit:

(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AE})=(\overrightarrow{GM},\overrightarrow{GE})

Les points G,C,M et F se situent sur un même cercle et on en déduit:

(\overrightarrow{GF},\overrightarrow{GM})=(\overrightarrow{CF},\overrightarrow{CM})

D’où l’égalité suivante :
(\overrightarrow{GF},\overrightarrow{GE})=(\overrightarrow{CB},\overrightarrow{CM})+(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB}) .

Ce qui démontre que pour que les points E,F et G soient alignés il faut que M se situe sur le cercle circonscrit au triangle ABC.

Complément : Le théorème de Ptolémé

Les points étant alignés sur la figure ci-dessus, on a EG=EF+FG or la formule obtenue à la fin de l’exercice 2 donne EF=\dfrac{AC\times BM}{2R}, FG=\dfrac{AB\times MC}{2R} et EG=\dfrac{BC\times AM}{2R} soit finalement :

BC\times AM=AC\times BM+AB\times MC qui est la condition pour qu’un quadrilatère soit inscriptible dans un cercle.

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4–Théorème du Pivot

Soient ABC un triangle , X, Y et Z trois points tels que

mes\;\widehat{AXB}+mes\;\widehat{BYC}+mes\;\widehat{CZA}=\alpha+\beta+\gamma=\pi,

Montrer que les cercles circonscrits aux triangles XAB, BYC et CZA sont concourrants.

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Si B, C et A sont trois points situés sur les côtés d’un triangle XYZ, ce résultat porte le nom de théorème du Pivot.

5–Cercle d’Apollonius

Soit AEB un triangle, (EC) et (ED) les bissectrice de l’angle \widehat{AEB}. La parallèle à (AE) passant par B coupe les deux bissectrices en F et G comme indiqué ci dessous.

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Etude de la figure ci-dessus.

Monter que (\overrightarrow{EC},\overrightarrow{ED})=\dfrac{\pi}{2}

Montrer que les triangles EGB et EBF sont isocèles et en déduire que B est le milieu de [GF].

Montrer que les triangles CBF et CEA sont similaires et en déduire \dfrac{CB}{CA}= \dfrac{EB}{EA}

Montrer que les triangles DGB et DEA sont similaires et en déduire \dfrac{DB}{DA}= \dfrac{EB}{EA}

En déduire que \dfrac{2}{AB}=\dfrac{1}{AC}+\dfrac{1}{AD} (la longueur AB est la moyenne harmonique des longueurs AC et AD)

On cherche maintenant l’ensemble \mathcal{E} des points M du plan tels que \dfrac{MA}{MB}=k

Soit M un point de \mathcal{E}, les bissectrices de l’angle \widehat{AMB} coupent (AB) en I et J .

Montrer que \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{JA}{JB}=k

En déduire la nature de \mathcal{E}, faire une figure pour k=2.

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