Applications pratiques de la dérivation.

1) Soit un cercle de métal, de rayon R, dans lequel on veut découper un triangle isocèle dont la surface soit maximale. Calculer x .

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2) Un navire parcourt une distance D. La dépense horaire du combustible est proportionnelle au carré de la vitesse, on la note Cv^2 et la paye horaire du personnel est fixe, on la note C'. Déterminer la vitesse du navire pour que la dépense totale soit minimale. ( On négligera les autres dépenses..)


3) Un jardinier doit construire un parterre de fleurs ayant la forme d’un secteur circulaire.
Il dispose de 100 mètres de fil pour l’entourer.
Quel rayon doit-il donner au cercle pour que l’aire de ce parterre soit maximale ?

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4) On lance obliquement , sous un angle \alpha, un projectile avec une vitesse initiale v.
On démontre, en mécanique, que la trajectoire est décrite par l’équation

    \[y=-\dfrac{g}{2v^2 \cos ^2 \alpha}x^2+ x.\tan \alpha\]

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Trouver la valeur de \alpha pour que la portée soit maximale.

5) On dispose d’une feuille de métal de surface S avec laquelle on souhaite réaliser une casserole. Déterminer le rapport entre la hauteur h et le rayon R pour que le volume soit maximal.

6) Soit un générateur de force electromotrice E et de résistance r qui alimente une résistance extérieure R variable. Trouver la valeur de R pour que la puissance dégagée dans R soit maximale.

La puissance est donnée par P=Ri^2 et i=\dfrac{E}{R+r}

7) Soit un miroir plan, une source lumineuse S et un oeil O. Trouver la position du point M où un rayon issu de S frappera le miroir pour ensuite aller dans l’oeil sachant que la lumière suit le chemin le plus court.
En déduire la loi de la reflexion de la lumière, trouvée par Descartes.

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8) Un piéton qui est en B souhaite se rendre en A en prenant au passage un autobus le long de la route (AD).Déterminer la position du point C où le piéton doit prendre l’autobus pour qu’il arrive en A dans le temps minimal. La vitesse de l’autobus est v, celle du piéton v'. (v\leq v')

On choisira l’angle x comme variable.

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9)Une statue de hauteur a est placée sur un piédestal de hauteur h, à quelle distance du pied du piédestal faut-il se placer pour voir la statue sous l’angle maximal ?

Les solutions ici:p734

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