Probabilités continues

Soit \phi(M,M') une une fonction de deux points parcourant respectivement deux aires A et A' .
Si \phi varie dans un certain intervalle(\alpha,\beta) quelle est la probabilité pour que \phi soit comprise entre \gamma et \gamma+d\gamma

La probabilité cherchée est de la forme \theta(\gamma)d\gamma avec bien sûr

    \[\displaystyle\int_\alpha^\beta \theta(\gamma)d\gamma =1\]

.

Si M est fixe, la mesure de l’aire du secteur correspondants aux points M' tels que \gamma\leq \phi \leq \gamma+d\gamma est de la forme F(M,\gamma)d\gamma et la probabilité pour que M' soit dans ce secteur est \dfrac{1}{A'}F(M,\gamma)d\gamma

F pouvant être considéré comme constant sur un élément d’aire dx\;dy entourant le point M, on obtient finalement

\theta(\gamma)=\dfrac{1}{A\;A'}\displaystyle\iint_A F(M,\gamma) dx\;dy

Exemple 1:
M et M' étant deux point d’un segment [AB] de longueur a, déterminer la probabilité pour que MM' ait une longueur inférieure à \dfrac{a}{2}

On cherche ici à vérifier \gamma\leq |x-x'| \leq \gamma+d\gammax et x' représentent les abscisses des points M et M'.
M est fixe, considérons les deux points de (AB) tels que MM_1=MM_2=\gamma il faut distinguer plusieurs situations:

Si \gamma \leq\dfrac{a}{2}:

\bullet Si 0\leq x\leq \gamma, seul un point est intérieur à [AB] et F(x, \gamma)=1

\bullet Si \gamma \leq x\leq a-\gamma, les deux points sont intérieur à [AB] et F(x, \gamma)=2

\bullet Si a-\gamma \leq x\leq a, seul un point est intérieur à [AB] et F(x, \gamma)=1

et le calcul de \theta(\gamma)=\dfrac{1}{a^2}\displaystyle\int_0^a F(x,\gamma) dx donne \dfrac{2}{a}(1-\dfrac{\gamma}{a})

Un calcul similaire donne le même résultat si \gamma \geq\dfrac{a}{2}
.
…et la réponse à la question posée est \displaystyle\int_0^{\frac{a}{2}} \theta(\gamma)d\gamma =\dfrac{3}{4} !

Au passage on remarque que deux points M et M' étant pris au hasard sur un segment de longueur a la valeur probable de la distance MM' est:\displaystyle\int_0^a\gamma \theta(\gamma)d\gamma =\dfrac{a}{3}

Ce problème peut aussi être résolu de la façon suivante, en introduisant une deuxième dimension:

M'' se situe à la même distance de A que M' et la distance MM' est alors égale à la longueur XY.
Pour que MM' soit inférieure à \gamma il suffit que le point Y se situe dans la bande définie par |x-y|\leq \gamma.

Dans le cas \gamma=\dfrac{a}{2} comme sur la figure ci-dessous on retrouve bien la valeur \dfrac{3}{4}

Rendered by QuickLaTeX.com

Exemple 2:

Déterminons maintenant la probabilité p pour que deux points d’un disque de rayon R se situent à une distance inférieure à \gamma

Soient (x_1;y_1) et (x_2;y_2) les coordonnées de A et B.

on aura p=\dfrac{\iiiint_F dx_1dx_2dy_1dy_2}{\iiiint dx_1dx_2dy_1dy_2}F représente le dommaine correspondant aux cas favorables et où \iiiint dx_1dx_2dy_1dy_2=\pi R^2\times \pi R^2=\pi R^4

Le calcul du numérateur est abordable si on passe en coordonnées polaires et que l’on remarque pour tout A, dire que AB\leq r signifie que A est assujetti à rester dans l’aire hachurée ci-dessous obtenue en translatant le cercle initial suivant \overrightarrow{BA}, et il est alors remarquable que l’aire de cette région est indépendante de \theta.

Rendered by QuickLaTeX.com

On a r=2\cos\dfrac{u}{2}

L’aire hachurée est égale à R^2(u-\sin u)

…et le calcul cherché est alors

=\int_0^{2\pi}\int_0^\gamma R^2(u-\sin u) rdrd\theta

=2\pi R^2\int_0^\gamma (u-\sin u) rdr avec rdr=-R^2\sin u\; du

attention, 0\leq r\leq \gamma signifie que \pi\geq u\geq 2\arccos(\frac{\gamma}{2R})

pour la suite du calcul posons \frac{\gamma}{2R}=\sin(\frac{\alpha}{2}), on aura alors \pi\geq u\geq \pi-\alpha (\arccos(\sin(x))=\dfrac{\pi}{2}-x !)

Cela simplifie les calculs et permet de présenter le résultat sous une forme plus « générale » (voir exemple suivant avec un carré)

Soit I=2\pi R^4\int_{\pi-\alpha}^\pi (u-\sin u) \sin u \;du

=2\pi R^4 [\sin u-u\;\cos u-\dfrac{u}{2}+\dfrac{\sin 2u}{4}]_{\pi-\alpha}^\pi

La relation \cos \alpha =1-2\sin^2\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{2R^2-\gamma^2}{2R^2}

permet finalement d’obtenir :

p=\dfrac{\pi \gamma^2 +\alpha (R^2-\gamma^2)-\sin \alpha(R^2+\frac{\gamma^2}{2})}{\pi R^2}

En particulier :si \gamma=R, alors \alpha a pour valeur \dfrac{\pi}{3} et la probabilité cherchée est:

p=1-\dfrac{3\sqrt{3}}{4\pi}=0.5865..

Exemple 3:

Déterminons maintenant la probabilité p pour que deux points d’un carré de côté a se situent à une distance inférieure à \gamma .

Le même raisonnement nous amène au calcul suivant:

p=\dfrac{4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\int_0^\gamma(a-r\cos \theta)(a-r\sin\theta) rdrd\theta}{a^2}

(a-r\cos \theta)(a-r\sin\theta) correspond à l’aire hachurée sur la figure ci dessous :

Rendered by QuickLaTeX.com

en intégrant par rapport à r puis par rapport à \theta, on obtient finalement:

p=\dfrac{\pi S \gamma^2-\dfrac{2}{3} P \gamma^3+\dfrac{\gamma^4}{8}.4}{S^2}

S et P représentent respectivement l’aire et le périmètre de ce polygone.

Dans le cas d’un polygone quelconque le résultat est alors :

P=\dfrac{1}{S^2}(\pi S \gamma^2-\dfrac{2}{3} P \gamma ^3 +\dfrac{\gamma ^4}{8}.\displaystyle\sum_\mathscr{A} ((\pi-A )\cot A +1))

\mathscr{A} représente l’ensemble des angles  de ce polygone

BONUS

L’aiguille de Buffon :
Ayant tracé sur une feuille de papier horizontale des parallèles équidistantes, on jette au hasard une aiguille parfaitement cylindrique : quelle est la probabilité pour que l’aiguille rencontre l’une des parallèles ?

Désignons par 2a la distance entre les parallèles et par 2l la longueur de l’aiguille.

On désignera par x la distance entre le milieu I de l’aiguille et la parallèle la plus proche et on supposera l\leq a, c’est-à-dire que l’aiguille ne pourra rencontrer qu’une seule au plus des parallèles.

La probabilité pour que x soit compris entre x et x+dx, est \dfrac{dx}{a}

Et I étant fixé, il faut que l’angle \alpha soit inférieur à l’angle \arccos(\dfrac{x}{l}), cet angle étant compris entre o et \dfrac{\pi}{2}, la probabilité correspondante est alors \dfrac{2}{\pi}\arccos(\dfrac{x}{l}) et la probabilité pour que l’aiguille rencontre la paralléle est

\dfrac{2}{\pi}\displaystyle\int_0^l\arccos(\dfrac{x}{l})\dfrac{dx}{a}=\dfrac{2l}{a\pi}

Si on suppose, en particulier 2l = a, c’est-à-dire la longueur de l’aiguille égale à la moitié de la distance entre les parallèles,
la probabilité devient égale à \dfrac{1}{\pi}

Autre façon de faire :
Supposons que l’on touche 1euro par point d’intersection. Si l’aiguille est suffisamment courte, il ne peut y avoir qu’un point d’intersection au plus, et l’espérance mathématique se confond avec la probabilité .
Mais si l’aiguille est remplacée par une ligne polygonale, son espérance mathématique est la somme des espérances mathématiques de ses cotés et si la courbe est plus compliquée, elle
peut être partagée en arcs partiels qui peuvent être considérés séparément et finalement l’espérance mathématique de la courbe devient proportinnelle à la longueur de celle-ci.

Remplaçons alors l’aiguille par un cercle de diamètre 2a.
La longueur de ce cercle est 2\pi a et son espérance mathématique 2.

L’espérance de l’unité de longueur est \dfrac{2}{2\pi a} et celle d’une aiguille de longueur 2l, et ici la probabilité cherchée, est \dfrac{2l}{a\pi}

Laisser un commentaire

Votre adresse de messagerie ne sera pas publiée. Les champs obligatoires sont indiqués avec *

9 + 1 =