12 | avril | 2020 | MATHEMATIQUES

Soit la fonction définie sur $\mathbb{C}$ par : $\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}$ (1)

que nous appelerons fonction exponentielle, notée $e^z$ .

$\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{a^k}{k!}.\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{b^m}{m!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}$

On regroupant les termes suivant les valeurs croissantes de $n=k+m$

$...=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(a+b)^n}{n!}$

ce qui s’écrira $\exp(a).\exp(b)=\exp(a+b)$