Beaucoup de choses en peu de lignes….

Soit la fonction définie sur \mathbb{C} par : \exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!} (1)

que nous appelerons fonction exponentielle, notée e^z.

\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{a^k}{k!}.\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{b^m}{m!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}

On regroupant les termes suivant les valeurs croissantes de n=k+m

...=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(a+b)^n}{n!}

ce qui s’écrira \exp(a).\exp(b)=\exp(a+b)

On définit alors le nombre e comme étant \exp(1).

a) Pour tout nombre complexe, \exp(z)\neq 0

En effet e^z.e^{-z}=e^0=1

b) \exp'(z)=\exp(z)

En effet \displaystyle\lim_{h\rightarrow 0}\;\frac{\exp(z+h)-\exp(z)}{h}=\exp(z)\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\;\frac{\exp(h)-1}{h}=\exp(z) d’après la définition de \exp(z)

c) La restriction de \exp(x) à l’axe des réels est une fonction croissante

En effet cela est évident pour les nombres positifs, puis on utilise la relation e^z.e^{-z}=1.

On aura aussi \displaystyle\lim_{x\rightarrow +\infty}\exp(x)= +\infty et \displaystyle\lim_{x\rightarrow -\infty}\exp(x)=0

\overline {e^{it}}=\overline {\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(it)^n}{n!}}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{{(\overline {it})^n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(-it)^n}{n!}=e^{-it}}

donc |e^{it}|^2=e^{it}.\overline {e^{it}}=e^{it}.e^{-it}=e^0=1 donc |e^{it}|=1 ,

e^{it} appartient au cercle unité

d) Définition de \cos(t) et de \sin(t) :

Pour tout t réel, on définit \cos(t) et \sin(t) comme le parties réelles et imaginaires de e^{it}

on pose e^{it}=\cos t + i \sin t avec \cos ^2 t +  \sin^2 t=1

En dérivant l’égalité ci-dessous on obtient :i e^{it}=i \cos t - \sin t =\cos' t + i \sin' t

donc \cos' t=-\sin t et \sin't= \cos t

\cos t=\mathscr{Re}(\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(it)^n}{n!})=1-\dfrac{t^2}{2!}+\dfrac{t^4}{4!}-\dfrac{t^6}{6!}... (2)

e) Définition du nombre \pi :

Il existe un nombre positif noté \pi tel que e^{\frac{i\pi}{2}}=i .

La relation (2) ci-dessus donne \cos(2)\leq -\dfrac{1}{3} or \cos(0)=1 et la fonction cosinus étant continue, on en déduit qu’il existe un plus petit nombre positif t_0 tel que \cos(t_0)=0 posons par définition :

\pi= 2t_0

On a donc \sin(t_0)=\pm 1 or \sin' t=\cos t \geq 0 sur [0;t_0] et \sin 0=0 on aura \sin(t_0)\geq 0 et donc finalement \sin(t_0)=1 puis e^{\frac{i\pi}{2}}=i

Déterminons pour finir la longueur du demi cercle correspondant à la partie supérieure du cercle trigonométrique :

l=\int_{-1}^1\sqrt{1+y'^2}dx (formule générale pour calculer la longueur d’une courbe )

y=\sqrt{1-x^2} donc y'=-\dfrac{y}{x} puis

l=\int_{-1}^1 \sqrt{1+\dfrac{y^2}{x^2} dx = \int_{-1}^1 \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx , posons x=\sin u

on obtient l=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} du=\pi !

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