le nombre d’or

Division d’un segment de droite en moyenne et extrême raison :

Un segment de droite étant donné, il s’agit de placer un point M tel que \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AM}{MB}

La figure ci-dessous, avec AB=BC permet d’obtenir le point M cherché :

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Notons \Phi le rapport \dfrac{AB}{AM} ainsi obtenu, \dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AM}{AB-AM}=\dfrac{1}{\dfrac{AB-AM}{AM}}

Soit \Phi=\dfrac{1}{\Phi-1} soit : \Phi ^2-\Phi-1=0

Ce nombre étant positif, on obtient \Phi=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}, le nombre d’or !

Sur la figure ci-dessous nous avons représenté le pentagone et le dodécagone convexes :

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ABC isocèle donc \widehat{BAC}=\widehat{BCA}, de plus \widehat{BAC}=\widehat{BA'C} et \widehat{BCA}=\widehat{BA'A} (angles qui interceptent le même arc…..)

donc \widehat{BA'A}=\widehat{BA'C}, (A'B) est une bissectrice de l’angle OA'C

OA'C est isocèle et \widehat{A'OC}=36^0 donc \widehat{OA'C}=\widehat{OCA'}=\frac{180-36}{2}=72^0 et finalement :

\widehat{A'IC}=180-36-72=72^0..IA'C est isocèle donc A'I=A'C

\widehat{IA'O}=\widehat{IOA'}=36^0 ….IA'O est isocèle donc A'I=OI

Comme \dfrac{OA'}{A'C}=\dfrac{IO}{IC} ( propriété des bissectrices )

alors \dfrac{OC}{IO}=\dfrac{IO}{IC} et le point I divise le segment [OC] en moyenne et extrême raison.

Soit \dfrac{OC}{IO}=\Phi

Comme ABC et OIA' sont deux triangles isocèles ayant à leur bases un angle de 36^0, ils sont semblables et finalement :

\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{OA'}{OI}=\dfrac{OC}{IO}=\Phi …et le nombre d’or peut être défini comme le rapport de la longeur de la diagonale du pentagone à la longeur de son côté !

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