Un petit problème de probabilité

Des points sont distribués au hasard sur une droite indéfinie, de telle manière qu’il y en ait en moyenne un par unité de longueur. Quelle est la probabilité pour qu’il y en ait précisément n dans un intervalle de longueur donnée x ?

Supposons d’abord que la droite D ne soit pas illimitée mais ait une longueur très grande L et renferme N points, par hypothèse, le rapport \dfrac{N}{L} tendra vers l’unité lorsque L augmentera indéfiniment.

Soit q_n la probabilité pour que l’intervalle donné x renferme n points déterminés parmi les N points situés dans l’intervalle total L et p_n, la probabilité pour que l’intervalle x renferme n points quelconques, on a alors :

p_n=q_n \dfrac{N!}{n!(N-n)!}

et donc \dfrac{p_{n+1}}{p_n}=\dfrac{q_{n+1}}{q_n}\dfrac{N-n}{n+1}

La seule différence entre q_{n+1} et q_n est que dans le premier cas le n+1^{iéme} point déterminé se situe dans l’intervalle x et dans le second il se situe en dehors, la position des N-1 autres points reste inchangée, donc :

\dfrac{q_{n+1}}{q_n}=\dfrac{x}{L-x} et donc \dfrac{p_{n+1}}{p_n}=\dfrac{x}{n+1}\dfrac{N-n}{L-x}

Comme le rapport \dfrac{N}{L} tend vers 1 , on obtient à la limite :\dfrac{p_{n+1}}{p_n}=\dfrac{x}{n+1}

Soit finalement p_n=p_0\dfrac{x^n}{n!}

et comme \displaystyle\sum_{0}^{\infty}p_n=1, on en déduit p_0 e^x =1,

et finalement : p_n=\dfrac{x^n}{n!} e^{-x}

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