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probabilités

LES ORIGINES DE LA LOI NORMALE

Ci dessous le long et douloureux calcul qui montre le lien entre loi binomiale et loi normale:

Point de départ, la formule de Stirling: n!\sim(\dfrac{n}{e})^n\sqrt{2\pi n}.

Dans une suite de n expériences, la probabilité d’obtenir \alpha et \beta fois les évènement A et B est donné par: P=p^{\alpha}q^{\beta}\dfrac{n!}{\alpha!\beta!}

Le terme le plus grand du développement de (p+q)^n correspond aux valeurs de \alpha et \beta les plus voisinnes de np et nq , donc on pose: a=np+x et b=nq+y .

On a alors

\ln n! \sim n\ln n-n+ \frac{1}{2}\ln (2\pi n)

et donc: \ln P\sim a \ln p+b \ln q+n \ln n-a \ln a-b \ln b+\frac{1}{2}\ln 2\pi n -\frac{1}{2}\ln 2\pi a-\frac{1}{2}\ln 2\pi \b -n+a+b

Comme n=a+b on obtient: n \ln n-a \ln a-b \ln b=a \ln{\frac{n}{a}}+b \ln{\frac{n}{b}}
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