Géométrie projective

Ci-dessous un petit résumé en image des deux premières parties du livre de géométrie projective de Daniel Perrin ( lien ici: Géométrie ) Vous trouverez dans un article du même nom un petit résumé écrit.

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Démonstration :[A \wedge A',B \wedge B',C \wedge C'] = [A, A', C].[B, B', C'] - [A, A', C'].[B, B', C]

( = [B' \wedge C,C'\wedge A,A' \wedge B] - [B \wedge C',C \wedge A',A \wedge B']....)
Une lecture affine de cette relation donne une condition universelle de parallélisme ou de concours:

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(AA’), (BB’) et (CC’) sont concourantes si et seulement si: Aire(BB’C).Aire (AA’C’)= Aire(B’BC’).Aire(A’AC)

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Démonstration: [(b\wedge c)\wedge(b'\wedge c'), (c\wedge a)\wedge(c'\wedge a'), (a\wedge b)\wedge(a'\wedge b')] = [a, b, c][a', b', c'][a\wedge a', b\wedge b', c\wedge c'].

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L’involution qui échange a et a’ et b et b’ échange aussi c et c’ que la conique soit dégénérée ( AD \cup BC)…ou non !

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Remarque :[a,c,b,d]=-1

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[B,C, a,a’].[C,A,b,b’].[A,B,c,c’]=1 et avec d’ à l’infini……..

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\dfrac{\overline{aB}}{\overline{aC}}\times\dfrac{\overline{bC}}{\overline{bA}}\times\dfrac{\overline{cA}}{\overline{cB}}=1

La relation fondamentale [b, c, d]a + [c, a, d]b + [a, b, d]c = [a, b, c]d (\ast), donne le théorème de Gergonne projectif:

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[X,a,a’,i].[X,b,b’,j].[X,c,c’,k]= 1

Ce qui, avec d à l’infini donne le théorème de Gergonne affine:

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\dfrac{\overline{a'X}}{\overline{a'a}}+\dfrac{\overline{b'X}}{\overline{b'b}}+\dfrac{\overline{c'X}}{\overline{c'c}}=1

La relation : [a, b, c] [f, g, h] = f(a)g(b)h(c) + f(b)g(c)h(a) + f(c)g(a)h(b)
-f(c)g(b)h(a) – f(b)g(a)h(c) – f(a)g(c)h(b) donne au choix:

\Rightarrow (bb’) , (cc’) et (aa’) sont concourantes si et seulement si les points u , v et w sont alignés

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ou encore mieux…

\Rightarrow (bb’) , (cc’) et (aa’) sont concourantes si et seulement si [u,v,w,k].[v,w,u,i].[w,u,v,j] = -1

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Ce qui en envoyant d à l’infini donne le théorème de Céva usuel : \dfrac{\overline{a'b}}{\overline{a'c}}\times\dfrac{\overline{b'c}}{\overline{b'a}}\times\dfrac{\overline{c'a}}{\overline{c'b}}=-1

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Les conjugués harmoniques de p , q et r par rapport à A,C , B,D et E,F sont alignés.

….et avec d à l’infini…

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Soit o un point et d sa polaire, les conjugués harmoniques de p et q par rapport à A et C et B et D sont alignés avec o.