MATHEMATIQUES

Les droites $d_1$ et $d_2$ d’équations respectives
$\left\{\begin{array}{cl} x& =3t-2\\ y&=6t\\ z&=6t+3\\ \end{array}\right.$ et $\left\{\begin{array}{cl} x& =-t-2\\ y&=5t+7\\ z&=-3t+2\\ \end{array}\right.$ sont:

sécantes en $A(1~;~2~;~-5)$

sécantes en $A(-1~;~2~;~5)$

parallèles

perpendiculaires

3.
Soit $ABC$ un triangle et $D$ le point d’intersection de $[BC]$ avec la bissectrice de l’angle $\widehat{BAC}$ .
Laquelle de ces égalités est correcte ?

$\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{DC}{AC}$

$\dfrac{DB}{AB}=\dfrac{AC}{DC}$

$\dfrac{DB}{CB}=\dfrac{AC}{AB}$

$\dfrac{DC}{DB}=\dfrac{BC}{AB}$

4.
Soit $\mathcal{C}$ un cercle de centre $O$ et de rayon $R$ , $M$ un point extérieur au cercle situé à une distance $d$ de $O$ et $\Delta$ une droite passant par $M$ et coupant le cercle en $A$ et $B$ .
Le produit $\overline{MA}\times \overline{MB}$ est égal à:

$d+R$

$d^2+r^2$

$d^2-R^2$

$d-2R$

5.
Dans un octogone régulier inscrit dans un cercle de rayon $R$ , la longueur de chaque côté est:

$R\sqrt{2}$

$R\sqrt{8-\sqrt{8}}$

$R\sqrt{2-\sqrt{2}}$

$R\sqrt{2+\sqrt{2}}$

6.
Soient $A$ , $H$ et $B$ trois points alignés tel que $AH=a$ et $HB=b$ , $M$ un point du cercle de diamètre $[AB]$ dont le projeté orthogonal sur $(AB)$ est le point $H$ . On note $MH=h$ et on a alors:

$h=\dfrac{a+b}{2}$

$h=\sqrt{a^2+b^2}$

$\dfrac{2}{h}=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}$

$h=\sqrt{ab}$

7.
Soient $A$ et $B$ deux points distincts de l’espace et $I$ le milieu de $[AB]$ .
Pour tout point $M$ de l’espace, on a :

$MA^2~+~MB^2~=~2~MI^2~+~\dfrac{1}{2}~AB^2$

$MA~+~MB~=~2~MI$

$MA^2~+~MB^2~=MI^2~-AB^2$

$MA^2~-~MB^2~=~MI^2~-~AB^2$

8.
La droite passant par $A(1~;~3~;~7)$ et orthogonale à la droite $\Delta$ d’équation $\left\{\begin{array}{cl} x& =t+5\\ y&=-4t-1\\ z&=t+3\\ \end{array}\right.$ a pour équation:

$\left\{\begin{array}{cl} x& =t+5\\ y&=t+1\\ z&=2t-3\\ \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{cl} x& =2t+1\\ y&=t-1\\ z&=2t-3\\ \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{cl} x& =2t-5\\ y&=t+1\\ z&=2t+3\\ \end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{cl} x& =5t+1\\ y&=t+3\\ z&=t+7\\ \end{array}\right.$

9.
Deux points $C$ et $D$ sont conjugués harmoniquement par rapport aux points $A$ et $B$ si et seulement si $\dfrac{CA}{CB}=\dfrac{DA}{DB}$ ,
on a alors: