beaucoup de choses en peu de lignes

6 mai 2021 Stéphane

Soit la fonction définie sur $\mathbb{C}$ par: $\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}$ (1)

que nous appellerons fonction exponentielle, notée $e^z$ .

$\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{a^k}{k!}.\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{b^m}{m!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}$ en regroupant les termes suivant les valeurs croissantes de $n=k+m$

$=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(a+b)^n}{n!}$

ce qui s’écrira $\exp(a).\exp(b)=\exp(a+b)$

On définit alors le nombre $e$ comme étant $exp(1)$ .

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géométrie

géométrie projective, exemple de calculs(2)

18 décembre 2019 Stéphane 3 910 commentaires

$\bullet$ Soit $D$ une droite affine d’équation $f$ et soient a, b deux points distincts du plan affine. On suppose que $D$ coupe (ab) en m. On a les propriétés suivantes :

1) On a $m =\dfrac{f(b)a - f(a)b}{f(b) - f(a)}$ .

2) On a la formule : $\dfrac{\overline{ma}}{\overline{mb}}=\dfrac{f(a)T(b)}{f(b)T(a)}$

$\bullet$ $\underline{\text{Théorème}\; \text{de}\; \text{Thalès}}$

Soient A,B,C trois droites parallèles. Deux droites $D$ , $D'$ coupent respectivement A,B,C en $a, b, c ; a', b', c'$ .

On a la formule : $\dfrac{\overline{ab}}{\overline{ac}}=\dfrac{\overline{a'b'}}{\overline{a'c'}}$

En effet, soit f une équation de A, on a:
$\dfrac{\overline{ab}}{\overline{ac}}=\dfrac{f(b)T(c)}{f(c)T(b)}$ et $\dfrac{\overline{a'b'}}{\overline{a'c'}} =\dfrac{f(b')T(c')}{f(c')T(b')}$ . Mais, comme $B = (bb')$ est parallèle à A on a $f(b)T(b') =f(b')T(b)$ et de même, $f(c)T(c') = f(c')T(b)$ .
Le résultat s’ensuit.

Exemple, situation 1, (T=x+y+z).

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Non classé

A propos de quotients

15 novembre 2019 Stéphane 1 534 commentaires

On appelle relation d’équivalence sur un ensemble $E$ toute relation binaire sur $E$ qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.

Une telle relation $\mathscr{R}$ peut se noter $x\;\equiv y \;(\text{modulo} \mathscr{R} )$ .

Soit $\mathscr{R}$ une relation d’équivalence sur un ensemble $E$ , on appelle classe d’équivalence de $x$ l’ensemble $\bar{x} =\{ y \in E/ x \mathscr{R} y\}$ .

On appelle ensemble quotient de $E$ par $\mathscr{R}$ et on note $E / \mathscr{R}$ l’ensemble des classes d’équivalence.

Si $E$ est muni d’une loi interne $T$ , on dit que $\mathscr{R}$ est compatible avec $T$ si et seulement si :

$(x \mathscr{R} x' \land y \mathscr{R} y') \Rightarrow ( x T y ) \mathscr{R} ( x' T y')$

Il existe alors une unique loi interne $\bar{T}$ sur $E / \mathscr{R}$ définie par :

$\forall (X,Y ) \in (E / \mathscr{R})^2 ,\;\; \forall x \in X ,\;\; \forall y \in Y$ : $X\bar{T} Y =\phi (x T y)$ où $\phi$ est la surjection canonique de $E$ dans $E / \mathscr{R}$ .

Si $G$ est un groupe, toute relation d’équivalence $\mathscr{R}$ compatible à gauche avec la loi de $G$ est de la forme $x^{-1}y \in H$ où H est un sous-groupe de G.

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géométrie

géométrie projective: Exemple de calculs

6 octobre 2019 Stéphane 335 commentaires

Résumé:
$\bullet$ On se donne
une forme linéaire non nulle $T \in E^*$ et on considère l’hyperplan vectoriel $E_{\infty}$ défini par T. On pose $P(E_{\infty}) =D_{\infty}$ (c’est un hyperplan projectif) et $X = P(E )\setminus D_{\infty }$

L’application qui à $\overrightarrow{u} \in E_{\infty}$ et $\bar{x}\in X$ associe $\overrightarrow{u}.\bar{x} = \overline{x + T(x)\overrightarrow{u}}$ est bien définie. C’est une opération de $E_{\infty}$ sur X , simplement transitive, de sorte qu’elle fait de $X$ un espace affine sous $E_{\infty}$ .
Si $\bar{a}$ , $\bar{b}$ sont deux points de X, le vecteur $\overrightarrow{ab}$ est le vecteur de $E_{\infty}$ défini par $\overrightarrow{ab}=\dfrac{b}{T(b)}-\dfrac{a}{T(a)}$ , il est indépendant du choix des représentants des points.