Un petit problème de probabilité

Des points sont distribués au hasard sur une droite indéfinie, de telle manière qu’il y en ait en moyenne un par unité de longueur. Quelle est la probabilité pour qu’il y en ait précisément n dans un intervalle de longueur donnée x ?

Supposons d’abord que la droite D ne soit pas illimitée mais ait une longueur très grande L et renferme N points, par hypothèse, le rapport \dfrac{N}{L} tendra vers l’unité lorsque L augmentera indéfiniment.

Soit q_n la probabilité pour que l’intervalle donné x renferme n points déterminés parmi les N points situés dans l’intervalle total L et p_n, la probabilité pour que l’intervalle x renferme n points quelconques, on a alors :

p_n=q_n \dfrac{N!}{n!(N-n)!}

et donc \dfrac{p_{n+1}}{p_n}=\dfrac{q_{n+1}}{q_n}\dfrac{N-n}{n+1}

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Probabilités continues

Soit \phi(M,M') une une fonction de deux points parcourant respectivement deux aires A et A' .
Si \phi varie dans un certain intervalle(\alpha,\beta) quelle est la probabilité pour que \phi soit comprise entre \gamma et \gamma+d\gamma

La probabilité cherchée est de la forme \theta(\gamma)d\gamma avec bien sûr

    \[\displaystyle\int_\alpha^\beta \theta(\gamma)d\gamma =1\]

.

Si M est fixe, la mesure de l’aire du secteur correspondants aux points M' tels que \gamma\leq \phi \leq \gamma+d\gamma est de la forme F(M,\gamma)d\gamma et la probabilité pour que M' soit dans ce secteur est \dfrac{1}{A'}F(M,\gamma)d\gamma

F pouvant être considéré comme constant sur un élément d’aire dx\;dy entourant le point M, on obtient finalement

\theta(\gamma)=\dfrac{1}{A\;A'}\displaystyle\iint_A F(M,\gamma) dx\;dy

Exemple 1:
M et M' étant deux point d’un segment [AB] de longueur a, déterminer la probabilité pour que MM' ait une longueur inférieure à \dfrac{a}{2}
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