est un semi-groupe commutatif. ( + est une loi associative et tout élément de 
est régulier.)
Sur 
, on définit une addition, notée 
et une relation d’équivalence 
ainsi :
et 
La relation est compatible avec l’addition sur .
Exemple :
Continuer la lecture de Construction de ZOn appelle ensemble naturel tout ensemble non vide et ordonné 
qui vérifie les trois axiomes :
) Toute partie non vide a un plus petit élément ;
) Toute partie non vide et majorée a un plus grand élément ;
) n’a pas de plus grand élément.
Etant donnés deux ensembles naturels, il existe un, et un seul isomorphisme d’ensembles ordonnés de l’un sur l’autre.
L’isomorphisme ci-dessus permet d’« identifier » tous les ensembles naturels à l’un d’eux, que nous noterons 
1–Les hauteurs dans un triangle
Soit ABC un triangle quelconque, H le point d’intersection des hauteurs issues de A et B.
Les points A,B,A’,B’ se situent sur un même cercle, on en déduit:
Les points C,A’,H et B’ se situent sur un même cercle, on en déduit:
La mesure de l’angle 
est donc 
ce qui démontre le concours des hauteurs dans un triangle.
2–Les longueurs des côtés d’un triangle sont proportionnelles aux sinus des angles opposés
Continuer la lecture de Exercices sur les angles.
1) Soit un cercle de métal, de rayon 
, dans lequel on veut découper un triangle isocèle dont la surface soit maximale. Calculer 
.
2) Un navire parcourt une distance 
. La dépense horaire du combustible est proportionnelle au carré de la vitesse, on la note 
et la paye horaire du personnel est fixe, on la note 
. Déterminer la vitesse du navire pour que la dépense totale soit minimale. ( On négligera les autres dépenses..)
Continuer la lecture de Applications pratiques de la dérivation.
Surface d’équilibre d’un liquide tournant.
La vitesse de rotation étant constante, la surface du liquide est stable et donc la résultante des forces agissant sur une petite masse 
de liquide situé à la distance de l’axe doit être perpendiculaire à la tangente à la courbe au point considéré.
on aura donc :
