Un petit problème de probabilité

22 décembre 2020 Stéphane Un commentaire

Des points sont distribués au hasard sur une droite indéfinie, de telle manière qu’il y en ait en moyenne un par unité de longueur. Quelle est la probabilité pour qu’il y en ait précisément n dans un intervalle de longueur donnée x ?

Supposons d’abord que la droite $D$ ne soit pas illimitée mais ait une longueur très grande $L$ et renferme $N$ points, par hypothèse, le rapport $\dfrac{N}{L}$ tendra vers l’unité lorsque $L$ augmentera indéfiniment.

Soit $q_n$ la probabilité pour que l’intervalle donné $x$ renferme n points déterminés parmi les N points situés dans l’intervalle total $L$ et $p_n$ , la probabilité pour que l’intervalle $x$ renferme n points quelconques, on a alors :

$p_n=q_n \dfrac{N!}{n!(N-n)!}$

et donc $\dfrac{p_{n+1}}{p_n}=\dfrac{q_{n+1}}{q_n}\dfrac{N-n}{n+1}$

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algèbre

Construction de Z

26 septembre 2020 Stéphane Laisser un commentaire

$( \mathbb{N} , + )$ est un semi-groupe commutatif. ( + est une loi associative et tout élément de $\N$ est régulier.)

Sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ , on définit une addition, notée $\oplus$ et une relation d’équivalence $\mathscr{R}$ ainsi :

$(x;y)\oplus(x';y')= (x+x';y+y')$ et $(x;y) \mathscr{R}(x';y') \Longleftrightarrow x+y'=x'+y$

La relation $\mathscr{R}$ est compatible avec l’addition sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ .

Exemple :

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récréation

le nombre d’or

15 septembre 2020 Stéphane Laisser un commentaire

Division d’un segment de droite en moyenne et extrême raison :

Un segment de droite étant donné, il s’agit de placer un point $M$ tel que $\dfrac{AB}{AM}=\dfrac{AM}{MB}$

La figure ci-dessous, avec $AB=BC$ permet d’obtenir le point $M$ cherché :

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analyse

Beaucoup de choses en peu de lignes….

12 avril 2020 Stéphane Laisser un commentaire

Soit la fonction définie sur $\mathbb{C}$ par : $\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}$ (1)

que nous appelerons fonction exponentielle, notée $e^z$ .

$\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{a^k}{k!}.\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{b^m}{m!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}$

On regroupant les termes suivant les valeurs croissantes de $n=k+m$

$...=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(a+b)^n}{n!}$

ce qui s’écrira $\exp(a).\exp(b)=\exp(a+b)$

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probabilités

Probabilités continues

8 avril 2020 Stéphane Laisser un commentaire

Soit $\phi(M,M')$ une une fonction de deux points parcourant respectivement deux aires $A$ et $A'$ .
Si $\phi$ varie dans un certain intervalle $(\alpha,\beta)$ quelle est la probabilité pour que $\phi$ soit comprise entre $\gamma$ et $\gamma+d\gamma$

La probabilité cherchée est de la forme $\theta(\gamma)d\gamma$ avec bien sûr

$\displaystyle\int_\alpha^\beta \theta(\gamma)d\gamma =1$

Si $M$ est fixe, la mesure de l’aire du secteur correspondants aux points $M'$ tels que $\gamma\leq \phi \leq \gamma+d\gamma$ est de la forme $F(M,\gamma)d\gamma$ et la probabilité pour que $M'$ soit dans ce secteur est $\dfrac{1}{A'}F(M,\gamma)d\gamma$

$F$ pouvant être considéré comme constant sur un élément d’aire $dx\;dy$ entourant le point $M$ , on obtient finalement

$\theta(\gamma)=\dfrac{1}{A\;A'}\displaystyle\iint_A F(M,\gamma) dx\;dy$

Exemple 1:
$M$ et $M'$ étant deux point d’un segment $[AB]$ de longueur $a$ , déterminer la probabilité pour que $MM'$ ait une longueur inférieure à $\dfrac{a}{2}$
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