qcm probabilités

12 janvier 2020 Stéphane Laisser un commentaire

Vous devez être inscrit et connecté pour faire ce test. Se connecter ou S’inscrire

géométrie projective, exemple de calculs(2)

18 décembre 2019 Stéphane Laisser un commentaire

$\bullet$ Soit $D$ une droite affine d’équation $f$ et soient a, b deux points distincts du plan affine. On suppose que $D$ coupe (ab) en m. On a les propriétés suivantes :

1) On a $m =\dfrac{f(b)a - f(a)b}{f(b) - f(a)}$ .

2) On a la formule : $\dfrac{\overline{ma}}{\overline{mb}}=\dfrac{f(a)T(b)}{f(b)T(a)}$

$\bullet$ $\underline{\text{Théorème}\; \text{de}\; \text{Thalès}}$

Soient A,B,C trois droites parallèles. Deux droites $D$ , $D'$ coupent respectivement A,B,C en $a, b, c ; a', b', c'$ .

On a la formule : $\dfrac{\overline{ab}}{\overline{ac}}=\dfrac{\overline{a'b'}}{\overline{a'c'}}$

En effet, soit f une équation de A, on a:
$\dfrac{\overline{ab}}{\overline{ac}}=\dfrac{f(b)T(c)}{f(c)T(b)}$ et $\dfrac{\overline{a'b'}}{\overline{a'c'}} =\dfrac{f(b')T(c')}{f(c')T(b')}$ . Mais, comme $B = (bb')$ est parallèle à A on a $f(b)T(b') =f(b')T(b)$ et de même, $f(c)T(c') = f(c')T(b)$ .
Le résultat s’ensuit.

Exemple, situation 1, (T=x+y+z).

Rendered by QuickLaTeX.com

Continuer la lecture de →

Non classé

A propos de quotients

15 novembre 2019 Stéphane Laisser un commentaire

On appelle relation d’équivalence sur un ensemble $E$ toute relation binaire sur $E$ qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.

Une telle relation $\mathscr{R}$ peut se noter $x\;\equiv y \;(\text{modulo} \mathscr{R} )$ .

Soit $\mathscr{R}$ une relation d’équivalence sur un ensemble $E$ , on appelle classe d’équivalence de $x$ l’ensemble $\bar{x} =\{ y \in E/ x \mathscr{R} y\}$ .

On appelle ensemble quotient de $E$ par $\mathscr{R}$ et on note $E / \mathscr{R}$ l’ensemble des classes d’équivalence.

Si $E$ est muni d’une loi interne $T$ , on dit que $\mathscr{R}$ est compatible avec $T$ si et seulement si :

$(x \mathscr{R} x' \land y \mathscr{R} y') \Rightarrow ( x T y ) \mathscr{R} ( x' T y')$

Il existe alors une unique loi interne $\bar{T}$ sur $E / \mathscr{R}$ définie par :

$\forall (X,Y ) \in (E / \mathscr{R})^2 ,\;\; \forall x \in X ,\;\; \forall y \in Y$ : $X\bar{T} Y =\phi (x T y)$ où $\phi$ est la surjection canonique de $E$ dans $E / \mathscr{R}$ .

Si $G$ est un groupe, toute relation d’équivalence $\mathscr{R}$ compatible à gauche avec la loi de $G$ est de la forme $x^{-1}y \in H$ où H est un sous-groupe de G.

Continuer la lecture de →

géométrie

géométrie projective: Exemple de calculs

6 octobre 2019 Stéphane Laisser un commentaire

Résumé:
$\bullet$ On se donne
une forme linéaire non nulle $T \in E^*$ et on considère l’hyperplan vectoriel $E_{\infty}$ défini par T. On pose $P(E_{\infty}) =D_{\infty}$ (c’est un hyperplan projectif) et $X = P(E )\setminus D_{\infty }$

L’application qui à $\overrightarrow{u} \in E_{\infty}$ et $\bar{x}\in X$ associe $\overrightarrow{u}.\bar{x} = \overline{x + T(x)\overrightarrow{u}}$ est bien définie. C’est une opération de $E_{\infty}$ sur X , simplement transitive, de sorte qu’elle fait de $X$ un espace affine sous $E_{\infty}$ .
Si $\bar{a}$ , $\bar{b}$ sont deux points de X, le vecteur $\overrightarrow{ab}$ est le vecteur de $E_{\infty}$ défini par $\overrightarrow{ab}=\dfrac{b}{T(b)}-\dfrac{a}{T(a)}$ , il est indépendant du choix des représentants des points.