géométrie

géométrie projective, exemple de calculs(2)

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\bullet Soit D une droite affine d’équation f et soient a, b deux points distincts du plan affine. On suppose que D coupe (ab) en m. On a les propriétés suivantes :

1) On a m =\dfrac{f(b)a - f(a)b}{f(b) - f(a)}.

2) On a la formule :\dfrac{\overline{ma}}{\overline{mb}}=\dfrac{f(a)T(b)}{f(b)T(a)}

\bullet \underline{\text{Théorème}\; \text{de}\; \text{Thalès}}

Soient A,B,C trois droites parallèles. Deux droites D,D' coupent respectivement A,B,C en a, b, c ; a', b', c'.

On a la formule : \dfrac{\overline{ab}}{\overline{ac}}=\dfrac{\overline{a'b'}}{\overline{a'c'}}

En effet, soit f une équation de A, on a:
\dfrac{\overline{ab}}{\overline{ac}}=\dfrac{f(b)T(c)}{f(c)T(b)} et \dfrac{\overline{a'b'}}{\overline{a'c'}} =\dfrac{f(b')T(c')}{f(c')T(b')} . Mais, commeB = (bb') est parallèle à A on a f(b)T(b') =f(b')T(b) et de même, f(c)T(c') = f(c')T(b).
Le résultat s’ensuit.

Exemple, situation 1, (T=x+y+z).

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