géométrie projective: Exemple de calculs

6 octobre 2019 Stéphane Laisser un commentaire

Résumé:
$\bullet$ On se donne
une forme linéaire non nulle $T \in E^*$ et on considère l’hyperplan vectoriel $E_{\infty}$ défini par T. On pose $P(E_{\infty}) =D_{\infty}$ (c’est un hyperplan projectif) et $X = P(E )\setminus D_{\infty }$

L’application qui à $\overrightarrow{u} \in E_{\infty}$ et $\bar{x}\in X$ associe $\overrightarrow{u}.\bar{x} = \overline{x + T(x)\overrightarrow{u}}$ est bien définie. C’est une opération de $E_{\infty}$ sur X , simplement transitive, de sorte qu’elle fait de $X$ un espace affine sous $E_{\infty}$ .
Si $\bar{a}$ , $\bar{b}$ sont deux points de X, le vecteur $\overrightarrow{ab}$ est le vecteur de $E_{\infty}$ défini par $\overrightarrow{ab}=\dfrac{b}{T(b)}-\dfrac{a}{T(a)}$ , il est indépendant du choix des représentants des points.

Situation 1 (T=x+y+z)
Soit $a(0,1,1)$ et $b(2,0,1)$ , $\overrightarrow{ab}=(\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{6})$

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nombres

Construction de Z

26 septembre 2019 Stéphane Laisser un commentaire

$( \mathbb{N} , + )$ est un semi-groupe commutatif. ( + est une loi associative et tout élément de $\N$ est régulier.)

Sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ , on définit une addition, notée $\oplus$ et une relation d’équivalence $\mathscr{R}$ ainsi :

$(x;y)\oplus(x';y')= (x+x';y+y')$ et $(x;y) \mathscr{R}(x';y') \Longleftrightarrow x+y'=x'+y$

La relation $\mathscr{R}$ est compatible avec l’addition sur $\mathbb{N} \times \mathbb{N}$ .

Exemple :

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nombres

Les ensembles de nombre

24 avril 2019 Stéphane Laisser un commentaire

On appelle ensemble naturel tout ensemble non vide et ordonné $X$ qui vérifie les trois axiomes :

$A_{1}$ ) Toute partie non vide a un plus petit élément ;

$A_{2}$ ) Toute partie non vide et majorée a un plus grand élément ;

$A_{3}$ ) $X$ n’a pas de plus grand élément.

Etant donnés deux ensembles naturels, il existe un, et un seul isomorphisme d’ensembles ordonnés de l’un sur l’autre.

L’isomorphisme ci-dessus permet d’« identifier » tous les ensembles naturels à l’un d’eux, que nous noterons $\mathbb{N}$

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géométrie

Exercices sur les angles.

12 janvier 2019 Stéphane Laisser un commentaire

1–Les hauteurs dans un triangle

Soit ABC un triangle quelconque, H le point d’intersection des hauteurs issues de A et B.

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Les points A,B,A’,B’ se situent sur un même cercle, on en déduit:

$(\overrightarrow{B'A'},\overrightarrow{B'B})=(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AB})$

Les points C,A’,H et B’ se situent sur un même cercle, on en déduit:

$(\overrightarrow{B'C},\overrightarrow{B'A'})=(\overrightarrow{HC'},\overrightarrow{HA})$

La mesure de l’angle $(\overrightarrow{C'A},\overrightarrow{C'H})$ est donc $\dfrac{\pi}{2}$ ce qui démontre le concours des hauteurs dans un triangle.

2–Les longueurs des côtés d’un triangle sont proportionnelles aux sinus des angles opposés
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analyse

Applications pratiques de la dérivation.

25 décembre 2018 Stéphane Laisser un commentaire

1) Soit un cercle de métal, de rayon $R$ , dans lequel on veut découper un triangle isocèle dont la surface soit maximale. Calculer $x$ .

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2) Un navire parcourt une distance $D$ . La dépense horaire du combustible est proportionnelle au carré de la vitesse, on la note $Cv^2$ et la paye horaire du personnel est fixe, on la note $C'$ . Déterminer la vitesse du navire pour que la dépense totale soit minimale. ( On négligera les autres dépenses..)