Beaucoup de choses en peu de lignes….

12 avril 2020 Stéphane Laisser un commentaire

Soit la fonction définie sur $\mathbb{C}$ par : $\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}$ (1)

que nous appelerons fonction exponentielle, notée $e^z$ .

$\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{a^k}{k!}.\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{b^m}{m!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}$

On regroupant les termes suivant les valeurs croissantes de $n=k+m$

$...=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(a+b)^n}{n!}$

ce qui s’écrira $\exp(a).\exp(b)=\exp(a+b)$

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probabilités

Probabilités continues

8 avril 2020 Stéphane Laisser un commentaire

Soit $\phi(M,M')$ une une fonction de deux points parcourant respectivement deux aires $A$ et $A'$ .
Si $\phi$ varie dans un certain intervalle $(\alpha,\beta)$ quelle est la probabilité pour que $\phi$ soit comprise entre $\gamma$ et $\gamma+d\gamma$

La probabilité cherchée est de la forme $\theta(\gamma)d\gamma$ avec bien sûr

$\displaystyle\int_\alpha^\beta \theta(\gamma)d\gamma =1$

Si $M$ est fixe, la mesure de l’aire du secteur correspondants aux points $M'$ tels que $\gamma\leq \phi \leq \gamma+d\gamma$ est de la forme $F(M,\gamma)d\gamma$ et la probabilité pour que $M'$ soit dans ce secteur est $\dfrac{1}{A'}F(M,\gamma)d\gamma$

$F$ pouvant être considéré comme constant sur un élément d’aire $dx\;dy$ entourant le point $M$ , on obtient finalement

$\theta(\gamma)=\dfrac{1}{A\;A'}\displaystyle\iint_A F(M,\gamma) dx\;dy$

Exemple 1:
$M$ et $M'$ étant deux point d’un segment $[AB]$ de longueur $a$ , déterminer la probabilité pour que $MM'$ ait une longueur inférieure à $\dfrac{a}{2}$
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