probabilités-statistiques 2

31 mai 2022 Stéphane

Statistiques

On cherche à étudier le caractère aléatoire de $n$ expériences fournissant les résultats chiffrés $x_1,..,x_n$ . Les $n$ expériences sont réalisées à l’identique et indépendamment les unes des autres.

Nous faisons donc l’hypothèse que l’observation $(x_1,..,x_n)$ provient de $n$ variables aléatoires $X_1,..,X_n$ identiquement distribuées. La famille $(X_1,..,X_n)$ est appelée un $n$ -échantillon et la loi commune des $X_i$ est notée $\mathcal L(X)$ . L’aléa lié à notre expérience est tel que $X_1 = x_1,..., X_n = x_n$ .

Le problème fondamental de la Statistique est de déterminer la loi commune des $X_i$ supposée inconnue à partir des résultats $(X_1,..,X_n)$ . On ne donnera pas de réponse absolue, on cherchera à déterminer une réponse approchée « la plus probable » selon des critères définis à l’avance.

Pour obtenir des résultats précis et intéressants, nous faisons un certain nombre d’hypothèses liées à l’expérience effectuée sur la loi commune $\mathcal L(X)$ des variables $(X_1,..,X_n)$ de l’échantillon, les différentes lois considérées possibles a priori pour les variables $X_i$ sont les $P_\theta$ , $\theta \in \Theta$ (on prédéfinit une famille de loi avec lesquelles il semble très probable de devoir travailler)

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probabilités

probabilité-statistiques 1

31 mai 2022 Stéphane

$\bullet$ On appelle univers, et on note $\Omega$ , l’ensemble des issues liées à une expérience aléatoire.

On considère l’ensemble $\A$ , appelé tribu, des parties de $\Omega$ obtenues par unions finies ou dénombrables d’éléments de $\Omega$ ainsi que par passage au complémentaire. Les éléments de $\A$ seront appelés évènements.

$\bullet$ On appelle mesure sur $\A$ toute fonction $\mu$ :

$\;\;\;\;$ Positive: $\mu(A)\geq 0$ , $\forall A \in \A$

$\;\;\;\;$ Additive: $C\cap D=\emptyset$ implique $\mu(C\cup D) =\mu (C)+ \mu(D)$

Si $\mu(\Omega)=1$ , on dit que $\mu$ est une probabilité sur $\Omega$ que nous noterons désormais $P$

$\bullet$ $\forall B$ tel que $P(B) \neq 0$ on appelle probabilité conditionnelle, et on note $P_B$ , la probabilité définie sur $\Omega$ par

$P_B(A)= \dfrac{ P(A\cap B)} {P(B)}$ $\forall A \in \A$

On retiendra : $P_B(A)= \dfrac{P_A(B). P(A)} {P(B)}$ )

Si $(E_i)_{1\leq i\leq n}$ est une partition de $\Omega$ , ( $E_i\cap E_j =\emptyset$ et $\displaystyle\bigcup_{i=1}^{n} E_i= \Omega$ ), on a alors pour tout évènement $A$ :

$P(A) = \displaystyle\sum_{n=1}^{n} P_{E_i}(A) \times P(E_i)$

$\bullet$ On appelle variable aléatoire toute application $X$ d’un espace probabilisé $(\Omega, \A , P)$ dans $\R$ et on appelle loi de X la mesure $P_X$ définie sur $\R$ par : $P_X(A)=P(X^{-1}(A)) ,\forall A \in \R$ , que l’on note généralement $P(X \subset A)$

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économie

Microéconomie

30 mai 2022 Stéphane

Ci-dessous quelques rudiments de microéconomie, TMS, méthode de Lagrange….

microeco

Ci-dessous deux documents , cours et exercices, sur la théorie des jeux , les équilibres de Nash…

Théorie des jeux

Exercices classiques

analyse

beaucoup de choses en peu de lignes

6 mai 2021 Stéphane

Soit la fonction définie sur $\mathbb{C}$ par: $\exp(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{z^n}{n!}$ (1)

que nous appellerons fonction exponentielle, notée $e^z$ .

$\sum_{k=0}^{\infty}\dfrac{a^k}{k!}.\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{b^m}{m!}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^{n}\dfrac{n!}{k!(n-k)!}a^kb^{n-k}$ en regroupant les termes suivant les valeurs croissantes de $n=k+m$

$=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{(a+b)^n}{n!}$

ce qui s’écrira $\exp(a).\exp(b)=\exp(a+b)$

On définit alors le nombre $e$ comme étant $exp(1)$ .

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géométrie

géométrie projective, exemple de calculs(2)

18 décembre 2019 Stéphane

$\bullet$ Soit $D$ une droite affine d’équation $f$ et soient a, b deux points distincts du plan affine. On suppose que $D$ coupe (ab) en m. On a les propriétés suivantes :

1) On a $m =\dfrac{f(b)a - f(a)b}{f(b) - f(a)}$ .

2) On a la formule : $\dfrac{\overline{ma}}{\overline{mb}}=\dfrac{f(a)T(b)}{f(b)T(a)}$

$\bullet$ $\underline{\text{Théorème}\; \text{de}\; \text{Thalès}}$

Soient A,B,C trois droites parallèles. Deux droites $D$ , $D'$ coupent respectivement A,B,C en $a, b, c ; a', b', c'$ .

On a la formule : $\dfrac{\overline{ab}}{\overline{ac}}=\dfrac{\overline{a'b'}}{\overline{a'c'}}$

En effet, soit f une équation de A, on a:
$\dfrac{\overline{ab}}{\overline{ac}}=\dfrac{f(b)T(c)}{f(c)T(b)}$ et $\dfrac{\overline{a'b'}}{\overline{a'c'}} =\dfrac{f(b')T(c')}{f(c')T(b')}$ . Mais, comme $B = (bb')$ est parallèle à A on a $f(b)T(b') =f(b')T(b)$ et de même, $f(c)T(c') = f(c')T(b)$ .
Le résultat s’ensuit.