Soit la fonction définie sur par:
(1)
que nous appellerons fonction exponentielle, notée .
en regroupant les termes suivant les valeurs croissantes de
ce qui s’écrira
On définit alors le nombre comme étant
.
a) Pour tout nombre complexe,
En effet
b)
En effet d’après la définition de
c) La restriction de à l’axe des réels est une fonction croissante
En effet cela est évident pour les nombres positifs, puis on utilise la relation .
On aura aussi et
d) Définition de et de
:
Pour tout réel, on définit
et
comme le parties réelles et imaginaires de
.
donc donc
,
appartient au cercle unité
et on pose avec
En dérivant l’égalité ci-dessous on obtient :
(2)
e) Définition du nombre :
Il existe un nombre positif noté tel que
.
La relation (2) ci-dessus donne or
et la fonction cosinus étant continue, on en déduit qu’il existe un plus petit nombre positif
tel que
posons par définition :
On a donc or
sur
et
on aura
et donc finalement
puis
Déterminons pour finir la longueur du demi cercle correspondant à la partie supérieure du cercle trigonométrique :
(formule générale pour calculer la longueur d’une courbe )
donc
puis
=
, posons
on obtient !