Archives de catégorie : probabilités

Pile ou face !

6 février 2018 Stéphane Laisser un commentaire

Un coup de pile ou face peut être représenté par un segment unité du quadrillage ci-dessous, dirigé toujours dans le sens des coordonnées croissantes : par exemple, 1 correspond à un vecteur unité parallèle à $Ox$ et 0 à un vecteur unité parallèle à $Oy$ . Dans ces conditions, une partie quelconque sera représentée par un chemin d’origine O, terminé en un certain point M, et tel qu’on se déplace toujours dans le sens positif des axes.

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Probabilités continues

5 mars 2017 Stéphane Laisser un commentaire

Soit $\phi(M,M')$ une une fonction de deux points parcourant respectivement deux aires $A$ et $A'$ .
Si $\phi$ varie dans un certain intervalle $(\alpha,\beta)$ quelle est la probabilité pour que $\phi$ soit comprise entre $\gamma$ et $\gamma+d\gamma$

La probabilité cherchée est de la forme $\theta(\gamma)d\gamma$ avec bien sûr

$\displaystyle\int_\alpha^\beta \theta(\gamma)d\gamma =1$

Si $M$ est fixe, la mesure de l’aire du secteur correspondants aux points $M'$ tels que $\gamma\leq \phi \leq \gamma+d\gamma$ est de la forme $F(M,\gamma)d\gamma$ et la probabilité pour que $M'$ soit dans ce secteur est $\dfrac{1}{A'}F(M,\gamma)d\gamma$

$F$ pouvant être considéré comme constant sur un élément d’aire $dx\;dy$ entourant le point $M$ , on obtient finalement

$\theta(\gamma)=\dfrac{1}{A\;A'}\displaystyle\iint_A F(M,\gamma) dx\;dy$

Exemple 1:
$M$ et $M'$ étant deux point d’un segment $[AB]$ de longueur $a$ , déterminer la probabilité pour que $MM'$ ait une longueur inférieure à $\dfrac{a}{2}$
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LES ORIGINES DE LA LOI NORMALE

11 mai 2016 Stéphane Laisser un commentaire

Ci dessous le long et douloureux calcul qui montre le lien entre loi binomiale et loi normale:

Point de départ, la formule de Stirling: $n!\sim(\dfrac{n}{e})^n\sqrt{2\pi n}$ .

Dans une suite de $n$ expériences, la probabilité d’obtenir $\alpha$ et $\beta$ fois les évènement A et B est donné par: $P=p^{\alpha}q^{\beta}\dfrac{n!}{\alpha!\beta!}$

Le terme le plus grand du développement de $(p+q)^n$ correspond aux valeurs de $\alpha$ et $\beta$ les plus voisinnes de $np$ et $nq$ , donc on pose: $a=np+x$ et $b=nq+y$ .

On a alors

$\ln n! \sim n\ln n-n+ \frac{1}{2}\ln (2\pi n)$

et donc: $\ln P\sim a \ln p+b \ln q+n \ln n-a \ln a-b \ln b+\frac{1}{2}\ln 2\pi n -\frac{1}{2}\ln 2\pi a-\frac{1}{2}\ln 2\pi \b -n+a+b$

Comme $n=a+b$ on obtient: $n \ln n-a \ln a-b \ln b=a \ln{\frac{n}{a}}+b \ln{\frac{n}{b}}$
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Quelques exercices de Probabilité classiques

21 janvier 2016 Stéphane Laisser un commentaire

1) Trois livres identiques ont été rangés aléatoirement dans une armoire contenant cinq étagères, déterminer la probabilité pour que les trois livres se trouvent sur la même étagère .

2) Deux joueurs jouent avec deux dés, A gagne avec un total de 7 et B avec un total de 6. B joue en premier et ensuite A et B jouent alternativement. Déterminer la probabilité pour que A gagne .

3) Un joueur A lance deux pièces et un joueur B lance trois pièces, celui amenant le plus de fois Pile gagne, et en cas d’égalité on recommence. Quelle est la probabilité que B gagne ?

4) La probabilité pour qu’une clé se trouve dans un meuble est
égale à $\dfrac{1}{3}$ . Ce meuble contient 7 tiroirs et 6 ont déjà été fouillés en vain. Quelle est la probabilité que la clé se trouve dans le dernier tiroir ?
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