Archives de catégorie : probabilités

Un petit problème de probabilité

Des points sont distribués au hasard sur une droite indéfinie, de telle manière qu’il y en ait en moyenne un par unité de longueur. Quelle est la probabilité pour qu’il y en ait précisément n dans un intervalle de longueur donnée x ?

Supposons d’abord que la droite D ne soit pas illimitée mais ait une longueur très grande L et renferme N points, par hypothèse, le rapport \dfrac{N}{L} tendra vers l’unité lorsque L augmentera indéfiniment.

Soit q_n la probabilité pour que l’intervalle donné x renferme n points déterminés parmi les N points situés dans l’intervalle total L et p_n, la probabilité pour que l’intervalle x renferme n points quelconques, on a alors :

p_n=q_n \dfrac{N!}{n!(N-n)!}

et donc \dfrac{p_{n+1}}{p_n}=\dfrac{q_{n+1}}{q_n}\dfrac{N-n}{n+1}

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Probabilités continues

Soit \phi(M,M') une une fonction de deux points parcourant respectivement deux aires A et A' .
Si \phi varie dans un certain intervalle(\alpha,\beta) quelle est la probabilité pour que \phi soit comprise entre \gamma et \gamma+d\gamma

La probabilité cherchée est de la forme \theta(\gamma)d\gamma avec bien sûr

    \[\displaystyle\int_\alpha^\beta \theta(\gamma)d\gamma =1\]

.

Si M est fixe, la mesure de l’aire du secteur correspondants aux points M' tels que \gamma\leq \phi \leq \gamma+d\gamma est de la forme F(M,\gamma)d\gamma et la probabilité pour que M' soit dans ce secteur est \dfrac{1}{A'}F(M,\gamma)d\gamma

F pouvant être considéré comme constant sur un élément d’aire dx\;dy entourant le point M, on obtient finalement

\theta(\gamma)=\dfrac{1}{A\;A'}\displaystyle\iint_A F(M,\gamma) dx\;dy

Exemple 1:
M et M' étant deux point d’un segment [AB] de longueur a, déterminer la probabilité pour que MM' ait une longueur inférieure à \dfrac{a}{2}
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Pile ou face !

Un coup de pile ou face peut être représenté par un segment unité du quadrillage ci-dessous, dirigé toujours dans le sens des coordonnées croissantes : par exemple, 1 correspond à un vecteur unité parallèle à Ox et 0 à un vecteur unité parallèle à Oy. Dans ces conditions, une partie quelconque sera représentée par un chemin d’origine O, terminé en un certain point M, et tel qu’on se déplace toujours dans le sens positif des axes.

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LES ORIGINES DE LA LOI NORMALE

Ci dessous le long et douloureux calcul qui montre le lien entre loi binomiale et loi normale:

Point de départ, la formule de Stirling: n!\sim(\dfrac{n}{e})^n\sqrt{2\pi n}.

Dans une suite de n expériences, la probabilité d’obtenir \alpha et \beta fois les évènement A et B est donné par: P=p^{\alpha}q^{\beta}\dfrac{n!}{\alpha!\beta!}

Le terme le plus grand du développement de (p+q)^n correspond aux valeurs de \alpha et \beta les plus voisinnes de np et nq , donc on pose: a=np+x et b=nq+y .

On a alors

\ln n! \sim n\ln n-n+ \frac{1}{2}\ln (2\pi n)

et donc: \ln P\sim a \ln p+b \ln q+n \ln n-a \ln a-b \ln b+\frac{1}{2}\ln 2\pi n -\frac{1}{2}\ln 2\pi a-\frac{1}{2}\ln 2\pi \b -n+a+b

Comme n=a+b on obtient: n \ln n-a \ln a-b \ln b=a \ln{\frac{n}{a}}+b \ln{\frac{n}{b}}
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