Soit un polytope d’un espace affine de dimension 3 , on note le nombre de faces,
le nombre de sommets et
le nombre d’arètes, montrons que
.
L’idée consiste à faire une projection stréréographique à partir d’un point proche d’une face
, puis on effectue la somme de tous les angles la première fois en utilisant les sommets puis en utilisant les polygones . La projection de centre
définit une bijection entre les sommets , arêtes, faces autre que
et l’ensemble des points , segments et polygones convexes de
.
Soit le nombre de sommets dans
il y a les intérieurs, là où la somme des angles vaut
et les extérieurs en nombre égal au nombre des côtés de
donc:
Somme des angles =
Soit le nombre de polygone à
côtés et
leur nombre total.
Somme des angles=
et comme on obtient
.
Comme ,
et
, on obtient bien
.