Soit un polytope d’un espace affine de dimension 3 , on note le nombre de faces, le nombre de sommets et le nombre d’arètes, montrons que .

L’idée consiste à faire une projection stréréographique à partir d’un point proche d’une face , puis on effectue la somme de tous les angles la première fois en utilisant les sommets puis en utilisant les polygones . La projection de centre définit une bijection entre les sommets , arêtes, faces autre que et l’ensemble des points , segments et polygones convexes de .

Soit le nombre de sommets dans il y a les intérieurs, là où la somme des angles vaut et les extérieurs en nombre égal au nombre des côtés de donc:
Somme des angles =

Soit le nombre de polygone à côtés et leur nombre total.
Somme des angles=

et comme on obtient .

Comme , et , on obtient bien .