S+F=A+2 !!!! La démo.

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Soit un polytope d’un espace affine de dimension 3 , on note F le nombre de faces, S le nombre de sommets et A le nombre d’arètes, montrons que F+S=A+2.

L’idée consiste à faire une projection stréréographique à partir d’un point O proche d’une face f_1, puis on effectue la somme de tous les angles la première fois en utilisant les sommets puis en utilisant les polygones . La projection de centre O définit une bijection entre les sommets , arêtes, faces autre que f_1 et l’ensemble des points , segments et polygones convexes de \mathcal{P}.

Soit S' le nombre de sommets dans \mathcal{P} il y a les intérieurs, là où la somme des angles vaut 2\pi et les extérieurs en nombre égal au nombre des côtés de f_1 donc:
Somme des angles =2\pi(S'- k)+(k-2)\pi = \pi(2S'-k-2)

Soit F'_i le nombre de polygone à i côtés et F' leur nombre total.
Somme des angles=\sum_{i}(i-2)\pi F'_i =\pi(\sum_{i}^{} i F'_i-2F')

et comme \sum_{i}^{} i F'_i=2A'-k on obtient 2S'-k-2=2A'-k-2F'.

Comme S=S', A=A' et F=F'+1, on obtient bien F+S=A+2.

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