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Les ensembles de nombre

On appelle ensemble naturel tout ensemble non vide et ordonné X qui vérifie les trois axiomes :

A_{1}) Toute partie non vide a un plus petit élément ;

A_{2}) Toute partie non vide et majorée a un plus grand élément ;

A_{3}) X n’a pas de plus grand élément.

Etant donnés deux ensembles naturels, il existe un, et un seul isomorphisme d’ensembles ordonnés de l’un sur l’autre.

L’isomorphisme ci-dessus permet d’« identifier » tous les ensembles naturels à l’un d’eux, que nous noterons \mathbb{N}

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Exercices sur les angles.

 

1–Les hauteurs dans un triangle

Soit ABC un triangle quelconque, H le point d’intersection des hauteurs issues de A et B.

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Les points A,B,A’,B’ se situent sur un même cercle, on en déduit:

(\overrightarrow{B'A'},\overrightarrow{B'B})=(\overrightarrow{AA'},\overrightarrow{AB})

Les points C,A’,H et B’ se situent sur un même cercle, on en déduit:

(\overrightarrow{B'C},\overrightarrow{B'A'})=(\overrightarrow{HC'},\overrightarrow{HA})

La mesure de l’angle (\overrightarrow{C'A},\overrightarrow{C'H}) est donc \dfrac{\pi}{2} ce qui démontre le concours des hauteurs dans un triangle.

2–Les longueurs des côtés d’un triangle sont proportionnelles aux sinus des angles opposés
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Applications pratiques de la dérivation.

1) Soit un cercle de métal, de rayon R, dans lequel on veut découper un triangle isocèle dont la surface soit maximale. Calculer x .

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2) Un navire parcourt une distance D. La dépense horaire du combustible est proportionnelle au carré de la vitesse, on la note Cv^2 et la paye horaire du personnel est fixe, on la note C'. Déterminer la vitesse du navire pour que la dépense totale soit minimale. ( On négligera les autres dépenses..)

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