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géométrie projective, exemple de calculs(2)

\bullet Soit D une droite affine d’équation f et soient a, b deux points distincts du plan affine. On suppose que D coupe (ab) en m. On a les propriétés suivantes :

1) On a m =\dfrac{f(b)a - f(a)b}{f(b) - f(a)}.

2) On a la formule :\dfrac{\overline{ma}}{\overline{mb}}=\dfrac{f(a)T(b)}{f(b)T(a)}

\bullet \underline{\text{Théorème}\; \text{de}\; \text{Thalès}}

Soient A,B,C trois droites parallèles. Deux droites D,D' coupent respectivement A,B,C en a, b, c ; a', b', c'.

On a la formule : \dfrac{\overline{ab}}{\overline{ac}}=\dfrac{\overline{a'b'}}{\overline{a'c'}}

En effet, soit f une équation de A, on a:
\dfrac{\overline{ab}}{\overline{ac}}=\dfrac{f(b)T(c)}{f(c)T(b)} et \dfrac{\overline{a'b'}}{\overline{a'c'}} =\dfrac{f(b')T(c')}{f(c')T(b')} . Mais, commeB = (bb') est parallèle à A on a f(b)T(b') =f(b')T(b) et de même, f(c)T(c') = f(c')T(b).
Le résultat s’ensuit.

Exemple, situation 1, (T=x+y+z).

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A propos de quotients

On appelle relation d’équivalence sur un ensemble E toute relation binaire sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.

Une telle relation \mathscr{R} peut se noter x\;\equiv y \;(\text{modulo} \mathscr{R} ).

Soit \mathscr{R} une relation d’équivalence sur un ensemble E, on appelle classe d’équivalence de x l’ensemble \bar{x} =\{ y \in E/ x \mathscr{R} y\}.

On appelle ensemble quotient de E par \mathscr{R} et on note E / \mathscr{R} l’ensemble des classes d’équivalence.

Si E est muni d’une loi interne T, on dit que \mathscr{R} est compatible avec T si et seulement si :

(x \mathscr{R} x' \land y \mathscr{R} y') \Rightarrow  (  x T y  )        \mathscr{R} (  x' T y')

Il existe alors une unique loi interne \bar{T} sur E / \mathscr{R} définie par :

\forall (X,Y ) \in (E / \mathscr{R})^2 ,\;\; \forall x \in X ,\;\; \forall y \in Y: X\bar{T} Y =\phi (x T y)\phi est la surjection canonique de E dans E / \mathscr{R}.

Si G est un groupe, toute relation d’équivalence \mathscr{R} compatible à gauche avec la loi de G est de la forme x^{-1}y   \in H où H est un sous-groupe de G.

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géométrie projective: Exemple de calculs

Résumé:
\bullet On se donne
une forme linéaire non nulle T \in E^* et on considère l’hyperplan vectoriel E_{\infty} défini par T. On pose P(E_{\infty}) =D_{\infty} (c’est un hyperplan projectif) et X = P(E )\setminus D_{\infty }

L’application qui à \overrightarrow{u} \in E_{\infty} et \bar{x}\in X associe \overrightarrow{u}.\bar{x} = \overline{x + T(x)\overrightarrow{u}} est bien définie. C’est une opération de E_{\infty} sur X , simplement transitive, de sorte qu’elle fait de X un espace affine sous E_{\infty}.
Si \bar{a}, \bar{b} sont deux points de X, le vecteur \overrightarrow{ab} est le vecteur de E_{\infty} défini par \overrightarrow{ab}=\dfrac{b}{T(b)}-\dfrac{a}{T(a)} , il est indépendant du choix des représentants des points.

Situation 1 (T=x+y+z)
Soit a(0,1,1) et b(2,0,1), \overrightarrow{ab}=(\dfrac{2}{3},-\dfrac{1}{2}, -\dfrac{1}{6})

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