Ci dessous le long et douloureux calcul qui montre le lien entre loi binomiale et loi normale:
Point de départ, la formule de Stirling: .
Dans une suite de expériences, la probabilité d’obtenir
et
fois les évènement A et B est donné par:
Le terme le plus grand du développement de correspond aux valeurs de
et
les plus voisinnes de
et
, donc on pose:
et
.
On a alors
et donc:
Comme on obtient:
et donc
Soit
En posant: on obtient:
.
Occupons nous maintenant de P’:
et donc :
donc :
En négligeant le terme de degré 3, on obtient:
y=-x et l’on arrive à:
Le terme impair est négligeable si est de l’ordre de
, c’est à dire au voisinnage du max de probabilité.
Posons alors il vient alors:
étant très grand, on négligera le terme impair et
permet d’obtenir que la probabilité pour que
soit compris entre
et
est égale à:
!