Soit une une fonction de deux points parcourant respectivement deux aires
et
.
Si varie dans un certain intervalle
quelle est la probabilité pour que
soit comprise entre
et
La probabilité cherchée est de la forme avec bien sûr
.
Si est fixe, la mesure de l’aire du secteur correspondants aux points
tels que
est de la forme
et la probabilité pour que
soit dans ce secteur est
pouvant être considéré comme constant sur un élément d’aire
entourant le point
, on obtient finalement
Exemple 1:
et
étant deux point d’un segment
de longueur
, déterminer la probabilité pour que
ait une longueur inférieure à
On cherche ici à vérifier où
et
représentent les abscisses des points
et
.
M est fixe, considérons les deux points de tels que
il faut distinguer plusieurs situations:
Si :
Si
, seul un point est intérieur à
et
Si
, les deux points sont intérieur à
et
Si
, seul un point est intérieur à
et
et le calcul de donne
Un calcul similaire donne le même résultat si …
.
…et la réponse à la question posée est !
Au passage on remarque que deux points et
étant pris au hasard sur un segment de longueur
la valeur probable de la distance
est:
Ce problème peut aussi être résolu de la façon suivante, en introduisant une deuxième dimension:
se situe à la même distance de A que
et la distance
est alors égale à la longueur
.
Pour que soit inférieure à
il suffit que le point
se situe dans la bande définie par
.
Dans le cas comme sur la figure ci-dessous on retrouve bien la valeur
Si et
sont deux point d’un cercle , la probabilité pour que le plus petit arc
ait une longueur inférieure à
est =
et la valeur probable de
est
.
Si maintenant les points et
sont deux points d’un carré de côté
, la probabilité pour que la longueur
soit inférieure à
est :
…et pour un polygone convexe quelconque :
Détails des calculs dans quelques semaines.
L’aiguille de Buffon :
Ayant tracé sur une feuille de papier horizontale des parallèles équidistantes, on jette au hasard une aiguille parfaitement cylindrique : quelle est la probabilité pour que l’aiguille rencontre l’une des parallèles ?
Désignons par la distance entre les parallèles et par
la longueur de l’aiguille.
On désignera par la distance entre le milieu
de l’aiguille et la parallèle la plus proche et on supposera
, c’est-à-dire que l’aiguille ne pourra rencontrer qu’une seule au plus des parallèles.
La probabilité pour que soit compris entre
et
, est
Et étant fixé, il faut que l’angle
soit inférieur à l’angle
, cet angle étant compris entre o et
, la probabilité correspondante est alors
et la probabilité pour que l’aiguille rencontre la paralléle est
Si on suppose, en particulier , c’est-à-dire la longueur de l’aiguille égale à la moitié de la distance entre les parallèles,
la probabilité devient égale à
Autre façon de faire :
Supposons que l’on touche 1euro par point d’intersection. Si l’aiguille est suffisamment courte, il ne peut y avoir qu’un point d’intersection au plus, et l’espérance mathématique se confond avec la probabilité .
Mais si l’aiguille est remplacée par une ligne polygonale, son espérance mathématique est la somme des espérances mathématiques de ses cotés et si la courbe est plus compliquée, elle
peut être partagée en arcs partiels qui peuvent être considérés séparément et finalement l’espérance mathématique de la courbe devient proportinnelle à la longueur de celle-ci.
Remplaçons alors l’aiguille par un cercle de diamètre 2a.
La longueur de ce cercle est et son espérance mathématique 2.
L’espérance de l’unité de longueur est et celle d’une aiguille de longueur
, et ici la probabilité cherchée, est