Vous trouverez ci-desous quelques une des propriétés les plus remarquables des paraboles, propriétés qui la plupart du temps restent tout à fait valables pour des ellipses ou des des hyperboles (voire des droites sécantes…)
Proposition 1.
Soit une parabole et soient
,
deux points de
. Les tangentes à
en
et
se coupent en
. Soit
la paralléle à l’axe de symétrie de
passant par
. Elle coupe
en
en
en
.
On a les propriétés suivantes :
1) est le milieu de
,
2) est le milieu de
,
3) la tangente à en
est parallèle à
.
Proposition 2 .
Soit une parabole et soient
,
,
,
,
,
six points distincts de
(un hexagone). On appelle respectivement
,
et
les points d’intersection des droites
et
,
et
,
et
.
Alors,,
et
sont alignés.
Proposition 3 .
La proposition 2 vaut encore si deux des points de l’hexagone sont confondus, à condition de remplacer la droite qui les joint par
la tangente. Cela fournit une construction de la tangente à en un de ses points
. Pour cela on prend quatre autres points
,
,
,
de
et on pose
=
. On construit les points
et
intersections respectives de
et
et de
et
. La droite
coupe alors
en
et la tangente en
est la droite
.
Proposition 4:
Soit une parabole.
Soit . On mène deux droites A,B passant par d qui coupent respectivement
en
,
et
,
. Soient
et
les points d’intersection des droites
et
et
et
. Alors, la droite
coupe
en deux points par o\`u passent les tangentes à
passant par
.