A propos des paraboles….

Vous trouverez ci-desous quelques une des propriétés les plus remarquables des paraboles, propriétés qui la plupart du temps restent tout à fait valables pour des ellipses ou des des hyperboles (voire des droites sécantes…)

Proposition 1.

Soit P une parabole et soient a, b deux points de P. Les tangentes à P en a et b se coupent en c. Soit \Delta la paralléle à l’axe de symétrie de P passant par c. Elle coupe P en m en (ab) en n.

On a les propriétés suivantes :

1)m est le milieu de [cn],

2) n est le milieu de [ab],

3) la tangente à P en m est parallèle à (ab).

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Proposition 2 .

Soit P une parabole et soient a, b, c, a', b', c' six points distincts de P (un hexagone). On appelle respectivement u, v et w les points d’intersection des droites (bc') et (b'c), (ca') et (c'a), (ab') et (a'b).

Alors,u, v et w sont alignés.

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Proposition 3 .

La proposition 2 vaut encore si deux des points de l’hexagone sont confondus, à condition de remplacer la droite qui les joint par
la tangente. Cela fournit une construction de la tangente à P en un de ses points a. Pour cela on prend quatre autres points b, c, a', c' de P et on pose b' = a. On construit les points v et w intersections respectives de (ac') et (a'c) et de (bc') et (b'c). La droite (vw) coupe alors (ba') en u et la tangente en a est la droite (au).

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Proposition 4:

Soit P une parabole.
Soit d \notin P. On mène deux droites A,B passant par d qui coupent respectivement
P en a, a' et b, b'. Soient o et u les points d’intersection des droites
(ab) et (a'b') et (ab') et (a'b). Alors, la droite (ou) coupe P en deux points par o\`u passent les tangentes à P passant par d.

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64 réflexions sur « A propos des paraboles…. »

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