Birapport (En cours de rédaction!)

Birapport de quatre points:

Définition:

Soit D une droite projective et soient a,b,c,d quatre points de D, avec a,b,c distincts.
Soit h l’unique homographie de D surP^1(k) définie par h(a) = \infty, h(b) = 0, h(c) = 1.
On appelle birapport des quatre points a,b,c,d pris dans cet ordre l’élément h(d) \in P^1(k) = k \cup {\infty} et on le note [a,b,c,d].
Soit f : d \rightarrow d' une homographie. On a l’égalité :
[a,b,c,d] = [f(a), f(b), f(c), f(d)] . les perspectives seront par la suite des homographies particulièrement utilisées.

Calcul du birapport:

Soit D une droite projective et soient a,b,c,d quatre points de D, avec a,b,c distincts, on a la formule suivante:

\bullet [a,b,c,d]=\dfrac{\overline{ac}}{\overline{ad}}\div\dfrac{\overline{bc}}{\overline{bd}} = r

\bullet [b,a,c,d] = [a,b,d,c] =\dfrac{1}{r}

\bullet [a,c,b,d] = 1 - r (\maltese)

\bullet Soient a, b, c, d, e cinq points distincts d’une droite projective D. On a la formule :[b, c, d, e] \times [c, a, d, e]  \times [a, b, d, e] = 1.

Soient a,b,c,d quatre points de D et a',b',c',d' quatre points de D', si [a,b,c,d]=[a',b',c',d'] et a=a' alors les droites (bb'), (cc') et (dd') seront concourantes .(fig 1 ci-dessous)

Ceci suffit pour démontrer le théorème de Pappus (fig 2 ci-dessous):
Soient a , b et c trois points d’une droite d_1 et a' , b' et c' trois points d’une droite d_2, les trois points (ab')\cap (a'b), (ac')\cap (a'c) et (cb')\cap (c'b) seront alignés.
En effet [aa',ab',ac',ac]=[ca',cb',cc',ca] donc [a',m,x,b]=[y,n,c',b] et donc les droites (a'y) , (mn) et (c'x) sont concourantes ce qui signifie que le point (ac')\cap (a'c) se trouve sur (mn)

ceva2

Ou le théorème de Desargues

Soit A,B,C,D un repère du plan projectif P(E) et soit \Delta une droite ne passant par aucun des points du repère. On note a, b, c, a', b', c' les intersections de \Delta avec les droites (AC), (BD), (AB), (DC), (AD) et (BC) respectivement et on suppose a \neq a'. Alors, l’involution f qui échange a et
a' et b et b' échange aussi c et c'.

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En effet on considère les perspectives p_B de \Delta sur (AC) et p_D de (AC) sur \Delta et leur composée h qui est une homographie de \Delta.
h(a’) = a’, h(b) = c’ et h(c) = b’, d’où l’égalité de birapports : [a, a', b, c] = [a, a', c', b'] = [a', a, b', c] par permutation. Il en résulte qu’on a [a, a', b, c] = [f(a), f(a'), f(b), c'] d’où c' = f(c).

Somme et produit:

On cherche ici à construire un point z tel que tel que [a, b, c, z] = [a, b, c, x] + [a, b, c, y]
Cette relation étant équivalente à la relation [b, a, x, z] = 1 -[b, a, y, z] = [b, y, a, z], Le point z cherché est
construit comme indiqué sur la figure ci dessous.

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On cherche maintenant à construire un point z tel que tel que [a, b, c, z] = [a, b, c, x] \times [a, b, c, y].
On a alors [a, b, c, x] =[b, a, z, y] et le point z cherché est construit à l’aide du théorème du Desargues.

Par un point A on mène deux droites (Aa) et (Ay) puis une droite \Delta passant par b qui coupe (Ay) en D. (Ac) coupe \Delta en C puis (xC) recoupe (Aa) en B.

(BD) recoupera (ax) en z qui est le point cherché.

Birapport de quatre droites:

Si A,B,C,D sont quatre droites passant par m, soit \Delta une droite ne passant pas par m et soient a,b,c,d les traces de A,B,C,D sur \Delta.
Alors on a [A,B,C,D]= [a,b,c,d].
D’après la loi des sinus:[A,B,C,D]=\dfrac{\sin(A,C)}{\sin(A,D)} \div \dfrac{\sin(B,C)}{\sin(B,D)}

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On a bien sur : [a,b,c,d] =[a',b',c',d']

Si [A,B,C,D]=[A',B',C',D'] et si A=A' alors les points d’intersection de B et B', C et C' et D et D' seront alignés.(fig 3 et 3bis ci-dessus)

La propriété ci-dessus sera très utile pour résoudre le problème suivant: étant donné quatre points a,b,c et d d’une droite d_1 et étant donné trois points a',b',c' d’une droite d_2, trouver d' tel que [a,b,c,d]=[a',b',c',d'].

On utilisera deux points O et O' pris arbitrairement sur (aa') et la propriété pour déterminer le point d’intersection de (Od) et (O'd'), donc le point d'.

La relation (\maltese) ci dessus traduit la relation fondamentale ( ou « grosse relation de Chasles »):

    \[\overline{ab}.\overline{cd}+\overline{ac}.\overline{db}+\overline{ad}.\overline{bc}=0\]

Cette relation permet de démontrer quelques beaux résultats:

\bullet Elle peut s’écrire d’après la remarque ci-dessus :

\sin(A,B)\sin(C,D)+\sin(A,C)\sin(D,B)+\sin(A,D)\sin(B,C)=0

Si les quatre droites sont issues du centre du cercle unité, les arcs ab, cd, etc., mesurent alors les angles de ces droites.

Dans le cas particulier où bd=\frac{\pi}{2}, \sin(db)=-1, \sin(ad)=\cos(ab) et \sin(cd)=\cos(cb)=\cos(bc) et l’équation ci-dessus correspond à la formule bien connue:

    \[\sin(ab+bc)=\sin(ab).\cos(bc)+\sin(bc).\cos(ab)\]

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\bullet Le théorème de Ptolémé:

Soit un quadrilatère abcd inscrit dans un cercle, la relation
\sin \frac{1}{2}ac.\sin\frac{1}{2}db=\sin\frac{1}{2}ab.\sin\frac{1}{2}cd+\sin\frac{1}{2}ad.\sin\frac{1}{2}ac obtenue en considérant les quatre points a,b,c,d comme appartenant à quatre droites issues d’un cinquième point du cercle et le fait que ces sinus sont les demi-cordes ab cd , … donne:

ac.db=ab.cd+ad.bc

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La division harmonique

Soient A,B,C,D quatre points distincts d’une droite projective .

On dit que ces points forment une division harmonique si on a
[A,B,C,D] = -1. (*)

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C et D divisent alors le segment [AB] dans le même rapport.

Désignons par a,b,c,d les abscisses de A,B,C,D la relation * s’écrit alors :

(c-a)(d-b)+(d-a)(c-b)=0 ou encore (a+b)(c+d)=2(ab+cd)

« le produit des sommes est le double de la somme des produits »
Si l’origine se situe en A (a=0) , la relation précédente s’écrit alors b(c+d)=2cd

soit \dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{c}=\dfrac{2}{b} soit encore \dfrac{2}{AB}=\dfrac{1}{AC}+\dfrac{1}{AD}

la longueur AB est la moyenne harmonique des longueurs AC et AD.

soit m un point quelconque et (a,b,c,d) une division harmonique alors:
ma.bc+mb.ad+mc.db+md.ca=0

Ce qui s’écrit avec \alpha milieu de [ab] et O milieu de [cd]:

ma.mb+mc.md=2m\alpha.mO (a finir)

Voir l’ANNEXE à la fin de l’article pour les situations les plus classiques de rapport harmonique.

Soient a,b,c,d quatre points de D et a',b',c',d' quatre points de D', ces deux droites sont divisées homographiquement si et seulement si [a,b,c,d]=[a',b',c',d'].

On a alors: \dfrac{ab.cd}{a'b'}+\dfrac{ac.db}{a'c'}+\dfrac{ad.bc}{a'd'}=0

Soit m un pont quelconque et m' sont correspondant, on a alors \dfrac{am}{bm}=\lambda \dfrac{a'm'}{b'm'}.

Soit m'=\infty et I son correspondant \dfrac{aI}{bI}=\lambda et de même si m=\infty , en nommant J' son correspondant, la division homographique s’exprime sous la forme :
Im.J'm'=cte  ...=-b'a'.aI=-ab.b'J' et finalement la relation ci-dessous exprime la division homographique de deux droites:
am.b'm'-am.b'J'-b'm'.aI+aI.b'a'=0

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Supposons maintenant que les droites sont positionnées de telle sorte que a=b'
Les points doubles (m=m') sont les solutions d’une équation du type:

am^2+(\lambda+\mu)am+\nu=0

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…et le milieu des points doubles coïncide avec le milieu de [IJ'] et en désignant par O ce point milieu cette équation devient:

am^2-2aO.am+aI.aa'=0

Si on choisit comme origine le point a=O cette équation devient Om^2-OJ'.OO'=0

de sorte que les points doubles se situent de part et d’autre du point O à des distances égales à \sqrt{OO'.OJ'}

Quand O' et J' ne se trouvent pas du même côté de O, les points doubles sont imaginaires.

Si l’un des points doubles est à l’\infty on a alors \dfrac{ae}{a'e}=\dfrac{ab}{a'b} et la construction suivante permet d’obtenir très simplement le point double:
On considère l’intersection g des deux cercles circonscrits aux triangles gab' et ga'b, g étant quelconque, ces deux cercles se recoupent en g' et la corde [gg'] passera par le point double .

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La division homographique de deux droites pourra s’écrire de différentes manières:

am.b'm'-aI. mm'+\lambda=0 (b'J=-aI)

am.b'm'-\gamma mm'+\lambda=0

Om^2-Im. mm'+\lambda=0

Involution:
Trois couples (a,a') ,(b,b') et (c,c') de points sont dits en involution si le birapport de quatre quelconque d’entre eux est égale au birapport de leur conjugué.
Exemple [a,b,c,b']=[a',b',c',b]
On a alors \dfrac{ab.ab'}{ac.ac'}=\dfrac{a'b.a'b'}{a'c.a'c'}
ou écrit différemment: ab'.b'c.ca'=-a'b.b'c.c'a

Si c est à l’infini et soit O sont conjugué, on a alors:

\dfrac{Oa}{Ob}=\dfrac{Ob'}{Oa'} ou \dfrac{Oa'}{Ob}=\dfrac{a'b'}{ba}

On appelle point double tout point coïncidant avec son conjugué,
On a alors \dfrac{ab.ab'}{a'b.a'b'}=\dfrac{ac^2}{a'c^2}
on appelera e et f les deux solutions mais alors:
\dfrac{ae}{a'e}=-\dfrac{af}{a'f} ce qui signifie que e et f divisent harmoniquement [aa'] et [bb'].

Si les trois couples (a,a') ,(b,b') et (c,c') sont en involution ainsi que (a,a') ,(b,b') et (d,d') alors (a,a') ,(c,c') et (d,d') le sont aussi donc si (a,a') ,(b,b') et (c,c') sont en involution, Oa.Oa'=Ob.Ob'=Oc.Oc'. Et nous appellerons point central ce point remarquable .

Deux segments [a,a'] et [b,b'] étant placés sur une droite \delta, la droite joignant les points d’intersection des deux cercles de diamètres [a,a'] et [b,b'] coupe \delta en O.

Si les deux segments n’empiètent pas l’un sur l’autre, on utilisera un point g quelconque et la droite joignant les deux points d’intersection des cercles circonscrits aux triangles gaa' et gbb' coupe la droite (ab) en O.

…autrement dit, les trois cercles ayant pour diamètres trois segments en involution passent par deux même point.

…ou encore, les segments définis par la rotation d’un angle droit autour d’un point fixe sur une droite quelconque sont en involution.

Notons pour finir que si (a,a') ,(b,b') et (c,c') sont en involution les deux points doubles définis ci-dessus divisent harmoniquement les trois segments [a,a'] , [b,b'] et [c,c'] et que ces deux points se situent à égale distance du point central.

Construction des points doubles:

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Soient deux couples (a,a') et (b,b') de points conjugués, et c un cinquième point, soit g un point extérieur et g' le deuxième point d’intersection des cercles circonscrits aux triangles gaa' et gbb', le cercle circonscrits au triangle gg'c recoupera la boite (ab) en c', sixième point de l’involution.

Si les trois couples (a,a') ,(b,b') et (c,c') sont en involution, soit un m un point quelconque sur la même droite, on aura avec les milieux \alpha, \beta et \gamma des segmenst [a,a'] , [b,b'] et [c,c'] l’équation:

ma.ma'.\beta \gamma+mb.mb'.\gamma \alpha+mc.mc'.\alpha \beta =0

Avec c' à l’infini, le point c sera le point central et l’équation ci-dessus devient:

ma.ma'-mb.mb'+2mc.mc'.\alpha \beta mO =0

ANNEXE

Voici quelques configurations classiques de rapports harmoniques:

\bullet Soit d une droite issue de A coupant d_1 en C, d_2 en D et la polaire de A par rapport aux droites d_1 et d_2 en B, alors [A,B,C,D] = -1

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\bullet Les bissectrices de l’angle \widehat{AEB} coupent (AB) en C et D et alors [A,B,C,D] = -1

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\bullet Soit d une droite issue de A coupant l’éllipse en C et D et la polaire de A en B, alors [A,B,C,D] = -1

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\bullet MNOP un quadrilarère, C et D les points d’intersection des diagonales avec la droite (AB) définie par les points d’intersection des côtés opposés, alors [A,B,C,D] = -1

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