Birapport de quatre points:
Définition:
Soit une droite projective et soient
quatre points de
, avec
distincts.
Soit l’unique homographie de
sur
définie par
.
On appelle birapport des quatre points pris dans cet ordre l’élément
et on le note [a,b,c,d].
Soit une homographie. On a l’égalité :
.
Les perspectives seront par la suite des homographies particulièrement utilisées ainsi que les incidences : Soit une droite et
un point n’appartenant pas à
. On appelle incidence l’ application qui à toute droite
passant par
associe l’unique point d’intersection
de
et
.
Calcul du birapport:
Soit une droite projective et soient
quatre points de
, avec
distincts, on a la formule suivante:
= r
(
)
Soient
cinq points distincts d’une droite projective
. On a la formule :
.
Exemple: ,
et
étant fixés, pour construire
tel que
r . Sur un droite quelconque, on placera
et
tels que
r. La parallèle à
passant par le point d’intersection de
et
permet d’obtenir le point cherché.
Pour la démonstration de , on considère les homographies
et
telle que
.
Soit , on a bien
,
,
et alors
Remarquons au passage que la relation () traduit la relation fondamentale ( ou « grosse relation de Chasles »):
…vérifiée pour quatre points quelconques ,
,
et
d’une droite quelconque.
Soit un point quelconque de la droite
, on a alors :
En effet
et comme
alors ……..
…avec =
on obtient alors la relation suivante
Une premières propriété: ()
Soient quatre points de
et
quatre points de
, si
et
alors les droites
,
et
seront concourantes .
Ceci suffit pour démontrer le théorème de Pappus:
Soient ,
et
trois points d’une droite
et
,
et
trois points d’une droite
, les trois points
,
et
seront alignés.
En effet donc
et donc les droites
,
et
sont concourantes ce qui signifie que le point
se trouve sur
…
Ou le théorème suivant :
Soit un repère du plan projectif
et soit
une droite ne passant par aucun des points du repère. On note
les intersections de
avec les droites
et
respectivement et on suppose
. Alors, le birapport de quatre quelconque de ces points est égal à celui de leurs conjugués.
( Nous dirons plus loin que ces trois couples de points sont en involution).
En effet on considère les perspectives de
sur
et
de
sur
et leur composée
qui est une homographie de
.
h(a’) = a’, h(b) = c’ et h(c) = b’, d’où l’égalité de birapports : par permutation. Il en résulte qu’on a
d’où
.
Somme et produit:
On cherche ici à construire un point tel que tel que
Cette relation étant équivalente à la relation , Le point
cherché est
construit comme indiqué sur la figure ci dessous.
On cherche maintenant à construire un point tel que tel que
.
On a alors et le point
cherché est construit à l’aide du théorème du Desargues.
Par un point on mène deux droites
et
puis une droite
passant par
qui coupe
en
.
coupe
en
puis
recoupe
en
.
recoupera
en
qui est le point cherché.
Birapport de quatre droites:
Si sont quatre droites passant par
, soit
une droite ne passant pas par
et soient
les traces de
sur
.
Alors on a .
D’après la loi des sinus:
On a bien sur :
Si et si
alors les points d’intersection de
et
,
et
et
et
seront alignés.
La propriété ci-dessus sera très utile pour résoudre le problème suivant: étant donné quatre points et
d’une droite
et étant donné trois points
d’une droite
, trouver
tel que
.
On utilisera deux points et
pris arbitrairement sur
et la propriété pour déterminer le point d’intersection de
et
, donc le point
.
Énonçons au passage la version « duale » de la propriété () ci-dessus.
Soient quatre droites passant par
et
quatre droites passant par
, si
alors les droites
,
et
….. seront concourantes .
En effet, notons et
et soient
la droite du premier faisceau correspondant à
et
la droite du second correspondant à
.
et
On considère on a alors
, en considérant les intersections respectives par les droites
et
, on obtient
Donc
Revenons quelques instants sur la relation () ci-dessus qui permet de démontrer quelques beaux résultats:
Elle peut s’écrire d’après la remarque ci-dessus :
Si les quatre droites sont issues du centre du cercle unité, les arcs ab, cd, etc., mesurent alors les angles de ces droites.
Dans le cas particulier où bd=,
,
et
et l’équation ci-dessus correspond à la formule bien connue:
Le théorème de Ptolémé:
Soit un quadrilatère inscrit dans un cercle, la relation
obtenue en considérant les quatre points
comme appartenant à quatre droites issues d’un cinquième point du cercle et le fait que ces sinus sont les demi-cordes
, … donne: