Birapport (partie 1)

Birapport de quatre points:

Définition:

Soit D une droite projective et soient a,b,c,d quatre points de D, avec a,b,c distincts.
Soit h l’unique homographie de D surP^1(k) définie par h(a) = \infty, h(b) = 0, h(c) = 1.
On appelle birapport des quatre points a,b,c,d pris dans cet ordre l’élément h(d) \in P^1(k) = k \cup {\infty} et on le note [a,b,c,d].
Soit f : d \rightarrow d' une homographie. On a l’égalité :
[a,b,c,d] = [f(a), f(b), f(c), f(d)] .

Les perspectives seront par la suite des homographies particulièrement utilisées ainsi que les incidences : Soit D une droite et m un point n’appartenant pas à D. On appelle incidence l’ application qui à toute droite \delta passant par m associe l’unique point d’intersection x de D et \delta.

Calcul du birapport:

Soit D une droite projective et soient a,b,c,d quatre points de D, avec a,b,c distincts, on a la formule suivante:

\bullet [a,b,c,d]=\dfrac{\overline{ac}}{\overline{ad}}\div\dfrac{\overline{bc}}{\overline{bd}} = r

\bullet [b,a,c,d] = [a,b,d,c] =\dfrac{1}{r}

\bullet [a,c,b,d] = 1 - r (\maltese)

\bullet Soient a, b, c, d, e cinq points distincts d’une droite projective D. On a la formule :[b, c, d, e] \times [c, a, d, e] \times [a, b, d, e] = 1.

 

Exemple: a,c et d étant fixés, pour construire b tel que [a,b,c,d]= r . Sur un droite quelconque, on placera e et f tels que \dfrac{af}{ae}=r. La parallèle à (ef) passant par le point d’intersection de (cf) et (de) permet d’obtenir le point cherché.

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Pour la démonstration de (\maltese), on considère les homographies f(z) =1-z et h telle que h(d)=r .

Soit u=f \circ h, on a bien u(a) = \infty, u(c) = 0, u(b) = 1 et alors u(d)=1-r

Remarquons au passage que la relation (\maltese) traduit la relation fondamentale ( ou « grosse relation de Chasles »):

\overline{ab}.\overline{cd}+\overline{ac}.\overline{db}+\overline{ad}.\overline{bc}=0

…vérifiée pour quatre points quelconques a , b , c et d d’une droite quelconque.

 

Soit m un point quelconque de la droite D, on a alors :

[a,b,c,d]=\dfrac{\dfrac{\overline{mb}}{\overline{ab}}-\dfrac{\overline{md}}{\overline{ad}}}{\dfrac{\overline{mb}}{\overline{ab}}-\dfrac{\overline{mc}}{\overline{ac}}}

En effet [a,b,c,d] = [d,c,b,a] =(\dfrac{\overline{db}}{\overline{da}}\div\dfrac{\overline{mb}}{\overline{ma}})\div(\dfrac{\overline{cb}}{\overline{ca}}\div\dfrac{\overline{mb}}{\overline{ma}})

et comme \overline{ab}.\overline{dm}+\overline{ad}.\overline{mb}+\overline{am}.\overline{db}=0

alors \dfrac{\overline{db}.\overline{ma}}{\overline{da}.\overline{mb}}=1-\dfrac{\overline{ab}.\overline{md}}{\overline{da}.\overline{mb}}……..

…avec m=\infty on obtient alors la relation suivante

[a,b,c,d]=\dfrac{\dfrac{1}{\overline{ab}}-\dfrac{1}{\overline{ad}}}{\dfrac{1}{\overline{ab}}-\dfrac{1}{\overline{ac}}}

Une premières propriété: (\mathcal{P})

Soient a,b,c,d quatre points de D et a',b',c',d' quatre points de D', si [a,b,c,d]=[a',b',c',d'] et a=a' alors les droites (bb'), (cc') et (dd') seront concourantes .

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Ceci suffit pour démontrer le théorème de Pappus:
Soient a , b et c trois points d’une droite d_1 et a' , b' et c' trois points d’une droite d_2, les trois points (ab')\cap (a'b), (ac')\cap (a'c) et (cb')\cap (c'b) seront alignés.

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En effet [aa',ab',ac',ac]=[ca',cb',cc',ca] donc [a',m,x,b]=[y,n,c',b] et donc les droites (a'y) , (mn) et (c'x) sont concourantes ce qui signifie que le point (ac')\cap (a'c) se trouve sur (mn)

Ou le théorème suivant :

Soit A,B,C,D un repère du plan projectif P(E) et soit \Delta une droite ne passant par aucun des points du repère. On note a, b, c, a', b', c' les intersections de \Delta avec les droites (AC), (BD), (AB), (DC), (AD) et (BC) respectivement et on suppose a \neq a'. Alors, le birapport de quatre quelconque de ces points est égal à celui de leurs conjugués.

( Nous dirons plus loin que ces trois couples de points sont en involution).

 

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En effet on considère les perspectives p_B de \Delta sur (AC) et p_D de (AC) sur \Delta et leur composée h qui est une homographie de \Delta.
h(a’) = a’, h(b) = c’ et h(c) = b’, d’où l’égalité de birapports : [a, a', b, c] = [a, a', c', b'] = [a', a, b', c] par permutation. Il en résulte qu’on a [a, a', b, c] = [f(a), f(a'), f(b), c'] d’où c' = f(c).

Somme et produit:

On cherche ici à construire un point z tel que tel que [a, b, c, z] = [a, b, c, x] + [a, b, c, y]
Cette relation étant équivalente à la relation [b, a, x, z] = 1 -[b, a, y, z] = [b, y, a, z], Le point z cherché est
construit comme indiqué sur la figure ci dessous.

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On cherche maintenant à construire un point z tel que tel que [a, b, c, z] = [a, b, c, x] \times [a, b, c, y].
On a alors [a, b, c, x] =[b, a, z, y] et le point z cherché est construit à l’aide du théorème du Desargues.

Par un point A on mène deux droites (Aa) et (Ay) puis une droite \Delta passant par b qui coupe (Ay) en D. (Ac) coupe \Delta en C puis (xC) recoupe (Aa) en B.

(BD) recoupera (ax) en z qui est le point cherché.

Birapport de quatre droites:

Si A,B,C,D sont quatre droites passant par m, soit \Delta une droite ne passant pas par m et soient a,b,c,d les traces de A,B,C,D sur \Delta.
Alors on a [A,B,C,D]= [a,b,c,d].
D’après la loi des sinus:[A,B,C,D]=\dfrac{\sin(A,C)}{\sin(A,D)} \div \dfrac{\sin(B,C)}{\sin(B,D)}

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On a bien sur : [a,b,c,d] =[a',b',c',d']

Si [A,B,C,D]=[A',B',C',D'] et si A=A' alors les points d’intersection de B et B', C et C' et D et D' seront alignés.

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La propriété ci-dessus sera très utile pour résoudre le problème suivant: étant donné quatre points a,b,c et d d’une droite d_1 et étant donné trois points a',b',c' d’une droite d_2, trouver d' tel que [a,b,c,d]=[a',b',c',d'].

On utilisera deux points O et O' pris arbitrairement sur (aa') et la propriété pour déterminer le point d’intersection de (Od) et (O'd'), donc le point d'.

Énonçons au passage la version « duale » de la propriété (\mathcal{P}) ci-dessus.
Soient A,B,C,D quatre droites passant par O et A',B',C',D' quatre droites passant par O', si [A,B,C,D]=[A',B',C',D'] alors les droites (A\cap B' A'\cap B), (A\cap C' A'\cap C) et (B\cap C' B'\cap C)….. seront concourantes .

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En effet, notons x=A\cap B' et y= A'\cap B et soient E la droite du premier faisceau correspondant à (OO') et E' la droite du second correspondant à (OO') .
\omega =E\cap A' et \omega ' =E' \cap A
On considère \Omega= E\cap E' on a alors [A,B,(OO'),E]=[A',B',E',(OO')], en considérant les intersections respectives par les droites A' et A, on obtient
[\alpha,y,O',\omega]=[\alpha,x,\omega ', O]
Donc

Revenons quelques instants sur la relation (\maltese) ci-dessus qui permet de démontrer quelques beaux résultats:

\bullet Elle peut s’écrire d’après la remarque ci-dessus :

\sin(A,B)\sin(C,D)+\sin(A,C)\sin(D,B)+\sin(A,D)\sin(B,C)=0

Si les quatre droites sont issues du centre du cercle unité, les arcs ab, cd, etc., mesurent alors les angles de ces droites.

Dans le cas particulier où bd=\frac{\pi}{2}, \sin(db)=-1, \sin(ad)=\cos(ab) et \sin(cd)=\cos(cb)=\cos(bc) et l’équation ci-dessus correspond à la formule bien connue:

    \[\sin(ab+bc)=\sin(ab).\cos(bc)+\sin(bc).\cos(ab)\]

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\bullet Le théorème de Ptolémé:

Soit un quadrilatère abcd inscrit dans un cercle, la relation
\sin \frac{1}{2}ac.\sin\frac{1}{2}db=\sin\frac{1}{2}ab.\sin\frac{1}{2}cd+\sin\frac{1}{2}ad.\sin\frac{1}{2}ac obtenue en considérant les quatre points a,b,c,d comme appartenant à quatre droites issues d’un cinquième point du cercle et le fait que ces sinus sont les demi-cordes ab cd , … donne:

ac.db=ab.cd+ad.bc

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