Uniquement avec les aires…

Pour commencer deux petits lemmes sur les aires :

\bullet Soient ABC et ABD deux triangles tels que (AB) et (DC) soient parallèles, alors \mathscr{A}(ABC)=\mathscr{A}(ABD)

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On trace les parrallèles à (AB) et (AD) , elles se coupent en E, et l’aire de chaque triangle est égale à la moitié de celle du parallèlogramme ABED.

\bullet Soit ABC un triangle, Q un point de (CB) et P un point de (AQ), alors \dfrac{\overline{QC}}{\overline{QB}}=\dfrac{\mathscr{A}(QCA)}{\mathscr{A}(QBA)}…. =\dfrac{\mathscr{A}(QCP)}{\mathscr{A}(QBP)} pour les mêmes raisons… =\dfrac{\mathscr{A}(PCA)}{\mathscr{A}(PBA)} par différence (chevron)

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On utilise le fait que ces triangles ont le même hauteur.

Ceci suffit pour démontrer le théorème de Thalès :
Soit ABE un triangle, C et D deux points de (EA) et (EB) , si (CD) et (AB) sont parallèles alors \dfrac{ED}{EA}=\dfrac{EC}{EB}...=\dfrac{DC}{AB}

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En effet,
\mathscr{A}(ABC)=\mathscr{A}(ABD) donc en soustrayant à l’aire totale \mathscr{A}(ACE)=\mathscr{A}(DBE) puis \dfrac{\overline{EC}}{\overline{EB}}=\dfrac{\mathscr{A}(ACE)}{\mathscr{A}(ABE)}=\dfrac{\mathscr{A}(DBE)}{\mathscr{A}(ABE)}=\dfrac{\overline{ED}}{\overline{EA}} !

…ou le théorème de Ménélaus

X ,Y et Z étant trois points de (BC), (AC) et (AB), ces points sont alignés si et seulement si \dfrac{\overline{XB}}{\overline{XC}}\times\dfrac{\overline{YC}}{\overline{YA}}\times\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}}=1

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En effet :

\dfrac{\overline{XB}}{\overline{XC}}=\dfrac{\mathscr{A}(XBZ)}{\mathscr{A}(XCZ)} , \dfrac{\overline{YC}}{\overline{YA}}=\dfrac{\mathscr{A}(ZCX)}{\mathscr{A}(ZAX)} ( chevron !) et \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}}=\dfrac{\mathscr{A}(ZAX)}{\mathscr{A}(ZBX)}

Le théorème de Céva se démontre aussi facilement :X ,Y et Z étant trois points de (BC), (AC) et (AB), les droites (AX) , (BY) et (CZ) sont concourantes si et seulement si \dfrac{\overline{XB}}{\overline{XC}}\times\dfrac{\overline{YC}}{\overline{YA}}\times\dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}}=-1

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En effet :

\dfrac{\overline{XB}}{\overline{XC}}=\dfrac{\mathscr{A}(OBA)}{\mathscr{A}(OCA)} , \dfrac{\overline{YC}}{\overline{YA}}=\dfrac{\mathscr{A}(OCB)}{\mathscr{A}(OAB)} et \dfrac{\overline{ZA}}{\overline{ZB}}=\dfrac{\mathscr{A}(OAC)}{\mathscr{A}(OBC)} ( chevron et rechevron et ..)

To be continued…

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