Pour commencer deux petits lemmes sur les aires :
Soient
et
deux triangles tels que
et
soient parallèles, alors
On trace les parrallèles à et
, elles se coupent en
, et l’aire de chaque triangle est égale à la moitié de celle du parallèlogramme
.
Soit
un triangle,
un point de
et
un point de
, alors
….
pour les mêmes raisons…
par différence (chevron)
On utilise le fait que ces triangles ont le même hauteur.
Ceci suffit pour démontrer le théorème de Thalès :
Soit un triangle,
et
deux points de
et
, si
et
sont parallèles alors
En effet,
donc en soustrayant à l’aire totale
puis
!
…ou le théorème de Ménélaus
X ,Y et Z étant trois points de ,
et
, ces points sont alignés si et seulement si
En effet :
,
( chevron !) et
Le théorème de Céva se démontre aussi facilement :X ,Y et Z étant trois points de ,
et
, les droites
,
et
sont concourantes si et seulement si
En effet :
,
et
( chevron et rechevron et ..)
To be continued…