LE THÉORÈME DE CÉVA.

Ci dessous , vous trouverez différentes façons de démontrer le théorème de Céva ainsi que quelques applications évidentes

Le théorème de Céva :

a ,b et c étant trois points de (BC), (AC) et (AB), les droites (Aa) , (Bb) et (Cc) sont concourantes si et seulement si \dfrac{\overline{aB}}{\overline{aC}}\times\dfrac{\overline{bC}}{\overline{bA}}\times\dfrac{\overline{cA}}{\overline{cB}}=-1

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La première démonstration utilise le « théorème du chevron »

\bullet Soit ABC un triangle, Q un point de (CB) et P un point de (AQ), alors \dfrac{\overline{QC}}{\overline{QB}}=\dfrac{\mathscr{A}(QCA)}{\mathscr{A}(QBA)}…. =\dfrac{\mathscr{A}(QCP)}{\mathscr{A}(QBP)} pour les mêmes raisons… =\dfrac{\mathscr{A}(PCA)}{\mathscr{A}(PBA)} par différence (chevron)
On utilise le fait que ces triangles ont le même hauteur.

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Le théorème se démontre alors facilement :

En effet :\dfrac{\overline{aB}}{\overline{aC}}=\dfrac{\mathscr{A}(OBA)}{\mathscr{A}(OCA)} , \dfrac{\overline{bC}}{\overline{bA}}=\dfrac{\mathscr{A}(OCB)}{\mathscr{A}(OAB)} et \dfrac{\overline{cA}}{\overline{cB}}=\dfrac{\mathscr{A}(OAC)}{\mathscr{A}(OBC)} ( chevron et rechevron et ..)

La loi des sinus permet aussi de démontrer le théorème de Céva :

Soit ABC un triangle et O le centre de son cercle circonscrit de rayon R, D le point diamétralement opposé à B.

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(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DB})=(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AB}) et donc BC=2R \sin \hat{A}

De même que AC=2R \sin \hat{B} et AB=2R \sin \hat{C}.

On en déduit \dfrac{BC}{\sin\hat{A}}=\dfrac{AC}{\sin\hat{B}}=\dfrac{AB}{\sin\hat{C}}

Le théorème se démontre alors ainsi:

Il suffit de considérer les trois triangles OAB, BOC et COA qui ont pour sommet O.

\dfrac{OB}{OA}=\dfrac{\sin\hat{OAB}}{\sin\hat{OBA}} , \dfrac{OC}{OB}=\dfrac{\sin\hat{OBC}}{\sin\hat{OCB}} , \dfrac{OA}{OC}=\dfrac{\sin\hat{OCA}}{\sin\hat{OAC}}
ce qui donne:

\dfrac{\sin\hat{OAB}}{\sin\hat{OBA}}.\dfrac{\sin\hat{OBC}}{\sin\hat{OCB}}.\dfrac{\sin\hat{OCA}}{\sin\hat{OAC}}=1

soit \dfrac{\sin\hat{aAB}}{\sin\hat{bBA}}.\dfrac{\sin\hat{bBC}}{\sin\hat{cCB}}.\dfrac{\sin\hat{cCA}}{\sin\hat{aAC}}=-1 en tenant compte maintenant de l’orientation des angles.

Puis comme \dfrac{aB}{aC}=\dfrac{\sin\hat{aAB}}{\sin\hat{aAC}}.\dfrac{AB}{AC} et idem pour \dfrac{bC}{bA} et \dfrac{cA}{cB} le résultat s’ensuit.

Premières applications:

Soit ABC un triangle quelconque, les hauteurs issues de A, B et C sont concourantes .

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En effet aB=AB\times \cos \widehat{B}, aC=AC\times \cos \widehat{C}, cB=CB\times \cos \widehat{B}
Et finalement, on trouve bien \dfrac{\overline{aB}}{\overline{aC}}\times\dfrac{\overline{bC}}{\overline{bA}}\times\dfrac{\overline{cA}}{\overline{cB}}=-1

Pour les médianes, leur concours est évident car \dfrac{\overline{aB}}{\overline{aC}}=-1=\dfrac{\overline{bC}}{\overline{bA}}=\dfrac{\overline{cA}}{\overline{cB}}

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On remarquera cependant que le théorème du chevron énoncé plus haut permet de démontrer que les médianes partagent le triangle en six triangles de même aire, donc
\mathscr{A}(AGB)=2\mathscr{A}(aBG) et ce même théorème permet de conclure que AG=2Ga.

Pour les bissectrices d’un triangle,on utilisera cette propriété très pratique, conséquence de la loi des sinus, à savoir qu’une bissectrice intérieure de l’angle d’un triangle divise le côté opposé proportionnellement aux longueurs des côtés adjacents.

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\dfrac{Ca}{aB}=\dfrac{AC}{AB} et on obtient alors rapidement \dfrac{\overline{aB}}{\overline{aC}}\times\dfrac{\overline{bC}}{\overline{bA}}\times\dfrac{\overline{cA}}{\overline{cB}}=-1

Une autre façon de démontrer le théorème de Céva.

Notons f, g eth les équations respectives des droites (Aa) , (Bb) et (Cc)

La relation essentielle :[A,B, C] [f, g, h] = f(A)g(B)h(C) + f(B)g(C)h(A) + f(C)g(A)h(B)
-f(C)g(B)h(A) - f(B)g(A)h(C) - f(A)g(C)h(B) permet de démontrer directement le théorème, en effet :

Si les droites (Aa) , (Bb) et (Cc) sont concourantes alors [f, g, h]=0, comme de plus f(A)=g(B)=h(C)=0 alors
f(B)g(C)h(A) + f(C)g(A)h(B)=0
soit \dfrac{f(B)g(C)h(A) }{f(C)g(A)h(B)}=-1 (*)
Mais rappelons qu’en géométrie projective, si D est une droite affine d’équation f et soient a, b deux
points distincts du plan , on suppose que D coupe (ab) en m, alors on a la
propriété suivante :

\dfrac{\overline{ma}}{\overline{mb}}=\dfrac{f(a)T(b)}{f(b)T(a)}T est l’équation de {D_{\infty} .

donc
\dfrac{\overline{aB}}{\overline{aC}}\times\dfrac{\overline{bC}}{\overline{bA}}\times\dfrac{\overline{cA}}{\overline{cB}}=\dfrac{f(B)T(C)}{f(C)T(B)}\times\dfrac{g(C)T(A)}{g(A)T(C)}\times\dfrac{h(A)T(B)}{h(B)T(A)}=
\dfrac{f(B)}{f(C)}\times\dfrac{g(C)}{g(A)}\times\dfrac{h(A))}{h(B)}=-1 d’après (*)

Le théorème de Céva se démontre aussi à l’aide du théorème de Ménélaüs, en effet:

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