La division harmonique
Soient quatre points distincts d’une droite projective .
On dit que ces points forment une division harmonique si on a
. (*)
et
divisent alors le segment
dans le même rapport.
La formule obtenue dans la partie 1 donne alors si
:
la longueur est la moyenne harmonique des longueurs
et
.
Soit un point quelconque et
une division harmonique.
,
etc.. et la relation * devient alors:
Ce qui s’écrit avec milieu de [
] et
milieu de [
]:
Posons cette relation devient
et comme
Posons et cette relation devient
Soit « le produit des distances à est égale au produit de la moyenne harmonique (
!) par la distance moyenne (
!) »
Voir l’ANNEXE à la fin de l’article pour les situations les plus classiques de rapport harmonique.
Retour sur la division homographique
Soient quatre points de
et
quatre points de
, ces deux droites sont divisées homographiquement si et seulement si
.
On a alors:
Soit un pont quelconque et
sont correspondant, on a alors
.
Soit et
son correspondant
et de même si
, en nommant
son correspondant, la division homographique s’exprime sous la forme :
et finalement la relation ci-dessous exprime la division homographique de deux droites:
Supposons maintenant que les droites sont positionnées de telle sorte que
Les points doubles () sont les solutions d’une équation du type:
…et le milieu des points doubles coïncide avec le milieu de et en désignant par O ce point milieu cette équation devient:
Si on choisit comme origine le point cette équation devient
de sorte que les points doubles se situent de part et d’autre du point O à des distances égales à
Quand et
ne se trouvent pas du même côté de
, les points doubles sont imaginaires.
Si l’un des points doubles est à l’ on a alors
et la construction suivante permet d’obtenir très simplement le point double:
On considère l’intersection des deux cercles circonscrits aux triangles
et
,
étant quelconque, ces deux cercles se recoupent en
et la corde
passera par le point double .
La division homographique de deux droites pourra s’écrire de différentes manières:
(
Involution:
Trois couples ,
et
de points sont dits en involution si le birapport de quatre quelconque d’entre eux est égale au birapport de leur conjugué.
Exemple
On a alors
ou écrit différemment:
Si est à l’infini et soit
sont conjugué, on a alors:
ou
On appelle point double tout point coïncidant avec son conjugué,
On a alors
on appelera et
les deux solutions mais alors:
ce qui signifie que
et
divisent harmoniquement
et
.
Si les trois couples ,
et
sont en involution ainsi que
,
et
alors
,
et
le sont aussi donc si
,
et
sont en involution,
. Et nous appellerons point central ce point remarquable .
Deux segments et
étant placés sur une droite
, la droite joignant les points d’intersection des deux cercles de diamètres
et
coupe
en
.
Si les deux segments n’empiètent pas l’un sur l’autre, on utilisera un point g quelconque et la droite joignant les deux points d’intersection des cercles circonscrits aux triangles et
coupe la droite
en
.
…autrement dit, les trois cercles ayant pour diamètres trois segments en involution passent par deux même point.
…ou encore, les segments définis par la rotation d’un angle droit autour d’un point fixe sur une droite quelconque sont en involution.
Notons pour finir que si ,
et
sont en involution les deux points doubles définis ci-dessus divisent harmoniquement les trois segments
,
et
et que ces deux points se situent à égale distance du point central.
Construction des points doubles:
Soient deux couples et
de points conjugués, et
un cinquième point, soit
un point extérieur et
le deuxième point d’intersection des cercles circonscrits aux triangles
et
, le cercle circonscrits au triangle
recoupera la boite
en
, sixième point de l’involution.
Si les trois couples ,
et
sont en involution, soit un
un point quelconque sur la même droite, on aura avec les milieux
,
et
des segmenst
,
et
l’équation:
Avec à l’infini, le point
sera le point central et l’équation ci-dessus devient:
ANNEXE
Voici quelques configurations classiques de rapports harmoniques:
Dans un trapèze, la droite parallèle à la base passant par le point d’intersection des diagonales coupe les côtés en
et
et la longueur
est la moyenne harmonique des longueurs des bases.
Soit
une droite issue de
coupant
en
,
en
et la polaire de A par rapport aux droites
et
en
, alors
Les bissectrices de l’angle
coupent
en
et
et alors
Soit
une droite issue de
coupant l’éllipse en
et
et la polaire de A en
, alors
un quadrilarère,
et
les points d’intersection des diagonales avec la droite
définie par les points d’intersection des côtés opposés, alors