Pile ou face !

Un coup de pile ou face peut être représenté par un segment unité du quadrillage ci-dessous, dirigé toujours dans le sens des coordonnées croissantes : par exemple, 1 correspond à un vecteur unité parallèle à Ox et 0 à un vecteur unité parallèle à Oy. Dans ces conditions, une partie quelconque sera représentée par un chemin d’origine O, terminé en un certain point M, et tel qu’on se déplace toujours dans le sens positif des axes.

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Si (a,b) sont les coordonnées de l’extrémité M, a+b est le nombre de coup de la partie, a le nombre de coups gagnés, et b le nombre de coups perdus.

(OA) est le lieu des points M qui correspondent aux parties nulles.

a) Montrer que le nombre de chemin possibles entre O et M, qui n’est autre que le nombre de parties possibles, qui se terminent avec a coups gagnés et b coups perdus, est: N=\dfrac{(a+b)!}{a!b!} .

A tout chemin, qui coupe (OA) en un certain point P, correspond le chemin obtenu en remplaçant la portion qui joint O à P, par sa figure symétrique par rapport à (OA). Si le premier chemin débute par OO', le deuxième débute par OO''. Il existe donc autant de chemins qui rencontrent (OA) en passant par O' que de chemins qui rencontrent (OA) en passant par O'', or si M est au-dessous de (OA), tout chemin qui commence par OO'' coupe nécessairement (OA) avant d’atteindre M.

b) Exprimer en fonction de N le nombre de chemins joignant O'' à M, en déduire le nombre de chemins qui vont de O vers M en rencontrant (OA) ainsi que le nombre de ceux qui ne rencontrent pas (OA).

c) En déduire la probabilité pour qu’un joueur ayant gagné une partie par a coups gagnés et b coups perdus ait été constamment en tête.

d) La question précédente peut être reformulée ainsi :Deux candidats A et B ont obtenu respectivement m et n voix (m\geq n). Quelle est la probabilité pour que, dans le dépouillement, A ait constamment la majorité ? (on donnera le résultat si A possède 75\% des voix) .

Etudions maintenant les parties nulles.

L’extrémité M, de coordonnées (a,a) est sur (OA) et le nombre de chemins possibles est :N_{2a}=\dfrac{(2a)!}{(a!)^2}; Cherchons alors le nombre de chemins qui ne rencontrent pas (OA) entre leurs deux extrémités O et M. Autrement dit , si deux joueurs conviennent de s’arrêter de jouer dès que se produit l’égalité, combien de parties distinctes se terminent au (2a))^{ième} coup ?

Le chemin doit rester d’un même côté de (OA). Si c’est au dessous, le (2a-1)^{ième} coup conduit au point M’ de coordonnées (a,a-1) et les chemins cherchés sont donc ceux qui aboutissent en M’ sans rencontrer (OA).

a) Exprimer en fonction de N_{2a} le nombre de chemins joignant O à M sans rencontrer (OA).

b) En déduire la probabilité pour qu’une partie dure 2a coups, si l’on a décidé de s’arrêter dès la première égalité.

c)Si nous convenons d’arrêter le jeu dès que se produit la première égalité, quelle semble être la durée moyenne de la partie?

79 réflexions sur « Pile ou face ! »

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