Récréation 1

Deux autres présentations pour la multiplication et le problème des trois vases:

Multiplication,

32\times 147=… On dispose les nombres comme indiqué ci-dessous, à l’intersection de chaque ligne et de chaque colonne, on indique le produit correspondant puis on ajoute les nombres présents dans chaque diagonale en partant du haut à droite sans oublier de reporter les éventuelles retenues dans la diagonale suivante. Pour finalement lire le résultat qui se lit de bas en haut….et obtenir 4704

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Un autre exemple : 83\times 251=

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….20833 !

Soient à multiplier 147 et 32:

les nombres sont placés l’un en face de l’autre,on multiplie par 2 dans la colonne de gauche et on divise par deux dans la colonne de droite, si un nombre N de la colonne de droite est impair, on place un 1 dans une troisième colonne et on poursuit le calcul avec N-1, sinon on place dans la troisième colonne le nombre 0 et on réitère le procédé.
Le résultat est alors la somme des nombres de la première colonne ou apparaissent le 1 en fin de ligne.

\begin{array}{c|c l c} 147&32&0\\ 294&16&0\\ 588&8&0\\ 1176&4&0\\ 2352&2&0\\ 4704&1&1\\ \end{array}.

27\times 23:

\begin{array}{c|c l c} 27&23&1\\ 54&11&1\\ 108&5&1\\ 216&2&0\\ 432&1&1\\ \end{array}.

27+54+108+432= 621 !

on remarquera que la troisième colonne fait apparaitre de bas en haut l’écriture de deuxième nombre en base 2, ce qui dispense de compléter la deuxième colonne..

33\times 25:
25 s’écrit en base 2: 11001 donc :

\begin{array}{c|c l c} 33&25&1\\ 66& &0\\ 132& &0\\ 264& &1\\ 528& &1\\ \end{array}

33+264+528=825.

Le problème des trois vases
Rappelons pour commencer que dans un triangle équilatéral, la somme des distances x, y et z d’un point M quelconque aux cotés du triangle est constamment égale à h, la hauteur du triangle.

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En effet
\mathscr{A}(ABC)=\mathscr{A}(ABM)+\mathscr{A}(BCM)+\mathscr{A}(ACM)
\dfrac{1}{2}a\times h=\dfrac{1}{2}a\times x+\dfrac{1}{2}a\times y+\dfrac{1}{2}a\times z
h=x+y+z

x, y et z forment alors un système de coordonnées du point M, les cotés AB, BC et CA ont pour équations respectives x=0, y=0 et z=0 et les trois sommets ont pour coordonnées (h,0,0) , (0,h,0) et (0,0,h).

Les conditions suivantes :
0\leq x \leq a , 0\leq y \leq b et 0\leq z \leq c assujettissent alors le point M à se trouver dans le domaine hachuré ci-dessous:

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Et lorsque l’une des coordonnées du point M est fixe, faire varier les deux autres revient à déplacer le point M sur une droite parallèle à l’un des côtés du triangle.

Soit maintenant le problème suivant:
Etant donnés h litres d’un liquide répartis dans trois vases de contenances respectives a, b et c litres, est -il possible de passer d’une répartition initiale (x,y,z) à la répartition (x',y',z') ?

Une solution du problème correspond, avec le modèle présenté ci-dessus, à un chemin joignant les points de coordonnées (x,y,z) et (x',y',z') passant par les parallèle aux côtés du triangle. Passer par exemple du point (4,3,1) au point (1,6,1) correspond au fait de remplir le vase 2 à l’aide du vase 1, dans lequel il ne restera plus que 1 litre !

Exemple:On dispose d’un grand récipient plein, « la réserve », disons dix litres et de deux récipients de 3 et 5 litres. Le but est d’obtenir exactement 4 litres dans le récipient de 5 litres. Nous allons chercher à joindre, comme indiqué sur le schéma ci-dessous, les points de coordonnées (10,0,0) et (6,0,4) en restant dans la domaine 0\leq x \leq 10 , 0\leq y \leq 3 et 0\leq z \leq 5.

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Soit un total de 8 transvasements……

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