A propos de quotients

On appelle relation d’équivalence sur un ensemble E toute relation binaire sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.

Une telle relation \mathscr{R} peut se noter x\;\equiv y \;(\text{modulo} \mathscr{R} ).

Soit \mathscr{R} une relation d’équivalence sur un ensemble E, on appelle classe d’équivalence de x l’ensemble \bar{x} =\{ y \in E/ x \mathscr{R} y\}.

On appelle ensemble quotient de E par \mathscr{R} et on note E / \mathscr{R} l’ensemble des classes d’équivalence.

Si E est muni d’une loi interne T, on dit que \mathscr{R} est compatible avec T si et seulement si :

(x \mathscr{R} x' \land y \mathscr{R} y') \Rightarrow  (  x T y  )        \mathscr{R} (  x' T y')

Il existe alors une unique loi interne \bar{T} sur E / \mathscr{R} définie par :

\forall (X,Y ) \in (E / \mathscr{R})^2 ,\;\; \forall x \in X ,\;\; \forall y \in Y: X\bar{T} Y =\phi (x T y)\phi est la surjection canonique de E dans E / \mathscr{R}.

Si G est un groupe, toute relation d’équivalence \mathscr{R} compatible à gauche avec la loi de G est de la forme x^{-1}y   \in H où H est un sous-groupe de G.

Réciproquement toute relation de ce type est une relation d’équivalence.

Exemple G=\mathfrak{S}_3


H=\{id,\tau_1\} est un sous groupe de G

Les classes à gauche sont:

\bar{id}=id.H=\{id, \tau_1 \}

\bar{\tau_1}=\tau_1.H= \{\tau_1, id \}

\bar{\tau_2}=\tau_2.H= \{\tau_2, \sigma_1 \}

\bar{\tau_3}=\tau_3.H= \{\tau_3,\sigma_2 \}

\bar{\sigma_1}=\sigma_1.H= \{\sigma_1,\tau_2 \}

\bar{\sigma_2}=\sigma_2.H= \{\sigma_2,\tau_3 \}

Et G/H= \{\bar{id},\bar{\tau_2},\bar{\tau_3} \}

Remarquons au passage qu’ici \tau_2.\tau_1.\tau_2^{-1}=\tau_3 \notin H

Pour qu’une telle relation d’équivalence soit compatible avec la loi de G, H doit être distingué dans G.

En effet :
Soient g quelconque dans G, h quelconque dans H. On a :

\bar{h} = hH = H = \bar{1},
\bar{gh} = (gh)H = g (hH) = gH = \bar{g},

donc, dans le cas où la relation \mathscr{R} est compatible avec la loi . , on doit avoir:

1 \equiv h et gh \equiv g
donc (1) .(gh) \equiv (h) . (g)soit gh \equiv hg

(gh)^{-1} (hg) \in  H

h^{-1}g^{-1}hg \in H

h( h^{-1}g^{-1}hg) \in h H

g^{-1}hg \in  H
ceci pour tout h dans H, donc: \forall g \in G, g^{-1}Hg  \in H.

Et il est alors possible de munir G / \mathscr{R} d’une structure de groupe …..

Exemple 1:


Ici G=D_4, le groupe des isométries du cube.

r est la rotation d’angle \frac{\pi}{2} , s_1 et s_2 les symétries par rapport aux médianes des côtés et t_1 et t_2 les symétries par rapport aux diagonales du carré.

H= \{id,r^2,s_1,s_2 \} est un sous groupe de G

Les classes à gauche sont:

\bar{id}=id.H= \{id, r^2,s_1,s_2 \}

\bar{r}=r.H= \{r, r^3,t_2,t_1 \}

\bar{r^2}=r^2.H= \{r^2, id,s_2,s_1 \}

\bar{r^3}=r^3.H= \{r^3, r,t_2,t_1 \}

\bar{s_1}=s_1.H= \{s_1, s_2,id,r^2 \}

\bar{s_2}=s_2.H= \{s_2, s_1,r^2,id \}

\bar{t_1}=t_1.H= \{t_1,t_2,r,r^3 \}

\bar{t_2}=t_2.H= \{t_2, t_1,r^3,r \}


H distingué dans D_4

Et G/H= \{\bar{id},\bar{r} \} \simeq \mathbb{Z}_2

Exemple 2:

Ici G=\mathbb{Q}_8, le groupe des quaternions, G= \{\pm1,\pm i,\pm j,\pm k \}, avec

i^2=j^2=k^2=-1 et i.j=-j.i=k\; ;\; j.k=-k.j=i\; ; \;k.i=-i.k=j .

.


H= \{1\; ;\; -1 \} qui est le centre de G est un sous groupe distingué de G .

\bar{1}=1.H=\{1\; ; -1\}

\bar{-1}=-1.H= \{1\; ; -1 \}

\bar{i}=i.H= \{i\; ; -i \}

\bar{-i}=-i.H= \{i\; ; -i \}

\bar{j}=j.H= \{j\; ; -j \}

\bar{-j}=-j.H= \{j\; ; -j \}

\bar{k}=k.H= \{k\; ; -k \}

\bar{-k}=-k.H= \{k\; ; -k \}

Et G/H= \{\bar{1},\bar{i},\bar{j},\bar{k} \}

Dressons la table de G/H

(exemple de calcul : \bar{j}.\bar{k}=\phi( -j.k)=\phi(-i)=\bar{i} ou \bar{j}.\bar{i}=\phi( j.i)=\phi(-k)=\bar{k} )

Cette table étant la même que celle du groupe de Klein \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2, noté V, on a G/H\;\simeq \; V


Exemple 3 :

On considère le groupe \mathfrak{S}_4 , il contient le sous-groupe V = \{Id,\mu_1,\mu_2,\mu_3 \} avec \mu_1=(12)(3;4), \mu_2=(1;3)(2;4) et \mu_3=(1;4)(2;3), qui est distingué dans \mathfrak{S}_4.

En effet,

\forall \sigma \in \mathfrak{S}_4 : \sigma \mu_1 \sigma^{-1} = \sigma(1,2)(3,4)\sigma^{-1} = \sigma(1,2)\sigma^{-1} \sigma(3,4)\sigma^{-1}

= (\sigma(1),\sigma(2))(\sigma(3),\sigma(4)) \in V , par exemple .

Le groupe quotient \mathfrak{S}_4/ V est d’ordre 6 (car | \mathfrak{S}_4 | = 24 et |V| = 4). N’étant pas abélien il est donc isomorphe au seul groupe d’ordre 6 non abélien: \mathfrak{S}_3.

Vérification (à la main…) :

\mathfrak{S}_4 contient :

Id,

6 transpositions: \tau_1=(1;2) ,\tau_2=(1;3) , \tau_3= (1;4) , \tau_4 (2;3) , \tau_5 (2;4) , \tau_6 (3;4),

8 3-cycles: \nu_1=(1;2;3),\nu_2= (1;2;4),\nu_3= (1;3;4),\nu_4= (1;3;2),\nu_5=  (1;4;2),\nu_6= (1;4;3),\nu_7= (2;3;4) et \nu_8=(2;4;3) ,

3 doubles transpositions :\mu_1=(12)(3;4), \mu_2=(1;3)(2;4), \mu_3=(1;4)(2;3),

6 4-cycles : \sigma_1(1;2;3;4), \sigma_2(1;2;4;3), \sigma_3(1;3;4;2), \sigma_4 (1;3;2;4), \sigma_5 (1;4;2;3) et \sigma_6(1;4;3;2),

\bar id= id .V = \{Id,\mu_1,\mu_2,\mu_3 \}

\bar \tau_1 = \tau_1 . V = \{ \tau_1, \tau_6,\sigma_4,\sigma_5  \}

\bar \tau_2= \tau_2 . V =  \{ \tau_2, \sigma_1,\tau_5,\sigma_6 \}

\bar \tau_3= \tau_3 . V = \{ \tau_3, \sigma_2,\sigma_3, \tau_4 \}

\bar \tau_4= \tau_4 . V = \{ \tau_4, \sigma_3,\sigma_2, \tau_3 \}

……

\bar \nu_1= \nu_1 . V =  \{ \nu_1, \nu_3,\nu_8, \nu_5 \}

\bar \nu_2= \nu_2. V = \{ \nu_2, \nu_6,\nu_4, \nu_7 \}

\bar \nu_3= \nu_3. V = \{ \nu_3, \nu_1,\nu_5, \nu_8 \}

\bar \nu_4= \nu_4. V = \{ \nu_4, \nu_7,\nu_2, \nu_6 \}

……

\bar \mu_1= \mu_1. V =  \{ \mu_1, id ,\mu_3, \mu_2 \}

\bar \mu_2= \mu_2. V = \{ \mu_2, \mu_3,id, \mu_1 \}

\bar \mu_3= \mu_3. V = \{ \mu_3, \mu_2, \mu_1, id \}

……

\bar \sigma_1= \sigma_1. V = \{ \sigma_1, \tau_2 ,\sigma_6, \tau_5 \}

\bar \sigma_2= \sigma_2. V = \{ \sigma_2, \tau_3 ,\tau_4, \sigma_3 \}

…………

\mathfrak{S}_4/ V = \{ \bar id ,     \bar \tau_1 , \bar \tau_2 ,\bar \tau_3, \bar \nu_1  ,    \bar \nu_2  \}

Dressons la table de \mathfrak{S}_4/ V en effectuant les calculs suivants:


\bar \tau_1.\bar \tau_1=   \phi(\bar \tau_6.\bar\sigma_3)=\phi(\mu_3)=\bar id

\bar \tau_1.\bar \tau_2=   \phi(\bar \sigma_4.\bar\tau_2)=\phi(\nu_2)=\bar \nu_2

\bar \tau_1.\bar \tau_3=   \phi(\bar \sigma_6.\bar\tau_3)=\phi(\nu_1)=\bar \nu_1

\bar \tau_1.\bar \nu_1=   \phi(\bar \tau_6.\bar\nu_5)=\phi(\sigma_3)=\bar \tau_3

\bar \tau_1.\bar \nu_2=   \phi(\bar \sigma_5.\bar\nu_7)=\phi(\sigma_6)=\bar \tau_2 etc…

…et le tableau obtenu est en tout point identique à celui de \mathfrak{S}_3

Si E est un anneau , cherchons maintenant à munir E / \mathscr{R} d’une structure d’anneau …..

Soit (H,+) un sous groupe, distingué car (E,+) est généralement abélien et E/H le groupe quotient muni de la loi \overline a +\overline b =\overline {a+b}

On cherche à munir E/H d’une loi \times qui ferait de (E/H, +, \times ) un anneau.

Posons \overline a \times \overline b =\overline {a\times b}, soient alors x\in E et h \in H.

Comme \overline {x+ h} =\overline x et \overline 0 =\overline h ,on doit avoir:

\overline {(x+ h)\times 0} =\overline {x\times h} soit \overline {xh} =\overline 0 soit xh \in H

\forall x \in E, xH \in H, et on aura de même Hx \in H, un tel sous groupe est appelé idéal de E.

Vérifions que cette condition est suffisante:

x \mathscr{R} x' \land y \mathscr{R} y' \Rightarrow x'-x=h_x \in H  \land y'-y=h_y \in H

\overline{x'y'}= x'y'+H=( x+h_x)(y+h_y) + H=

xy+xh_y+h_xy+h_xh_y+H =xy +H=\overline{xy} ( car xh_y+h_xy+h_xh_y \in H !)

Rappel

\mathbb{C} a été construit comme \mathbb{R}  ^2 muni des lois:

(x;y) + (x';y') = (x + x';y + y')

(x;y)\times(x';y') = (xx'-yy';xy' + x'y),

Soit K un corps commutatif. On considère l’anneau commutatif K [X] des polynômes à coefficients dans K, qui est euclidien.

L’ensemble (P) = P. K [X] des polynômes multiples de P étant un idéal de K [X], on peut considérer l’anneau quotient K[X]/(P), lui aussi euclidien (on peut utiliser la division euclidienne !), lequel est isomorphe à (\overline{1},\overline{X},...,\overline{x^{d-1}}) .

K[X]/(P) étant euclidien, il est aussi principal (on peut utiliser le théorème de Bézout !) et on démontre alors que :

K[X]/(P) est un corps si et seulement si P est irréductible dans K [X].

\Rightarrow   \mathbb{R}  [X]/(x^2+1) est un corps isomorphe à \mathbb{C} grâce à l’application suivante

\phi:  \mathbb{R}  [X]/(x^2+1) \rightarrow   \mathbb{C}

\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;  bX+a \rightarrow a+ib

\mathbb{R}  [X]/(x^2+1) peut être la définition même de \mathbb{C}.

Autre exemple:

1 534 réflexions sur « A propos de quotients »

  1. HC Retinol Serum: Bir A vitamini formu olan Retinol, ince çizgilerin ve ya?lanma belirtilerinin görünümünü azaltt???
    klinik olarak kan?tlanm?? güçlü bir aktiftir.

    Retinol ayn? zamanda leke olu?umuna ve ciltteki ton e?itsizliklerine kar?? mücadele eder.

    Canl?, taze ve daha genç bir cilt görünümü kazand?rmaya yard?mc? olur.

    HC Retinol Serum’un, en ileri düzeyde konsantre edilmi? saf
    Hyaluronik Asit, Pentavitin (Saccharide Isomerate), Anadenanthera Colubrina Bark Extract ve Bisabolol ile güçlendirilmi? aktif içeri?i,
    güçlü nemlendirici ve canland?r?c?
    özelli?i sayesinde cildi s?k?la?t?rmaya yard?mc? olur.

    HC Retinol Serum akneli ve ya?l? ciltlerde, lekelerde ve ciltte olu?an A Vitamini
    eksikli?inde kullan?l?r.

    Bu tür ciltlerde daha iyi bir etki al?nabilmesi
    için HC Çay A?ac? (Tea Tree) Temizleme Jeli
    ile birlikte kullan?lmas? tavsiye edilir.

    Retinol SeruM

  2. Instagram’da bir hesab?n takipçi say?s?, o hesab?n prestiji aç?s?ndan çok önemlidir.

    Bundan dolay?, hesab?n? büyütmek isteyenler, öncelikle takipçi sat?n almaktad?r.
    Fazla takipçi say?s? olan hesaplar, daha fazla dikkat çeker
    ve daha fazla ki?iye ula??rlar. Firma, mü?terilerin farkl? taleplerine cevap verebilmek ad?na farkl? takipçi paketleriyle hizmet vermektedir.

    instagram takipçi sat?n al
    i?lemi bu taleplerin en ba??nda gelir, ve çok h?zl? ?ekilde takipçilerinizin gönderimi yap?l?r.

  3. Takipçi Al Itibar?n Arts?n

    Instagram takipçi konusu oldukça büyümü?tü
    ki?iler taraf?ndan itibar görmekte. Instagram kullan?c?lar?n?n yak?ndan ilgilendi?i
    bu hizmetler sayesinde, kullan?c?lar Instagram kapsam?nda ki tüm deste?e sahip olmaktad?r, Bu sebepten takip2018.com tercih sebebidir e?er kaliteli takipçilere ula?mak için hemen Takipçi Sat?n AL sitesine
    giderek istedi?iniz kadar instagram takipçilere ula?abilirsiniz.

  4. Thanks for every other informative blog. The place else
    may I get that type of info written in such an ideal
    way? I have a venture that I’m simply now running on, and I have been on the glance out for such info.

  5. Taki?çi sat?n ?l hizmeti Türk gerçek takipçi sistemini
    sunan ve a??l kullan?c? hizmetine de i?e olan bir
    sistemdir.
    Farkl? amaçlara ?? edebilecek kullan?mlar göre
    ayr? paketler ve hizmetler h?z?rl?m?? olan ?ehir ayr?ml? filtreleme sistemlerine de malik ?ldu?u gör? dikk?t çeker.

    isterseniz ?adece kad?nlara isterseniz de yaln?zca
    erkeklere hit?p eden yada tamam? kar???k içerikleriniz yoluna ni??ngâh odakl? tak?pç? sat?n alab?leceks?n?z.

    Bu d? ?ah?s?el hesab?n?z? veya ?irk?t hesab?n?z? henüz kola?ca güçlendirmeye ?ara?acak mühim özelliklerden biri olacakt?r.

    Filtrelenmi? takipçi seçene?i say?sind? siz okunu?u
    Takipçi Sat?n Al firmas?n? kar?n rahatl??? ile kullanabilirsiniz.
    takipçi sat?n alma i?lemi hizmeti Türk real takipçi sistemini sunan ve a??l kullan?c? hizmetine de i?e olan bir sistemdir.
    Farkl? amaçlara ?? edebilecek kullan?mlar göre ayr? paketler ve
    hizmetler h?z?rl?m?? olan ?ehir ayr?ml? filtreleme sistemlerine de malik ?ldu?u gör? dikk?t çeker.
    Buna bakarak cinsellik filtrelemesi ya?abilecek, isterseniz ?adece kad?nlara
    dilerseniz de yaln?zca erkeklere hit?p eden içerikleriniz
    yoluna ni??ngâh odakl? tak?pç? sat?n alab?leceks?n?z.
    Bu d? ?ah?s?el hesab?n?z? veya ?irk?t hesab?n?z? henüz kola?ca güçlendirmeye ?ara?acak önemli özelliklerden biri olacakt?r.
    Filtrelenmi? takipçi seçene?i say?sind? siz okunu?u Takipçi Sat?n Al ?irketin? kullanmaktan çekinmeyiniz tAKiPÇ? sat?n al

  6. Takipçi Sat?n Alma Hizmetleri

    ?nstagram’da bir hesab?n takipçi adedi, ve o
    hesab?n takipçi say?s? sizi mü?terilerinize daha iyi tan?tm??
    olmaktad?r, ve bu prestije sahip olmak isteyen i? sahipleri
    ?nstagram takipçisini ço?altmak isteyenler bunun vakit içerisinde kendi kendine olmas?n? beklemeleri bo?a ç?kmaktad?r.

    Çünkü takipçi adedi az olan bir hesab? kimse takip etmek
    istemeyece?i amac?yla k?s?r döngüye girilir. Takipçi sat?n al seçenekleri bireylerin beklentilerine
    göre çok çok detayl? olabilmektedir.

    https://rebrand.ly/takipcisatinaltr

  7. En ?yi Saç Uzatan ?ampuan Önerileri ile Yaza Sa?l?kl? Saçlarla Girin

    Saçlarda kullan?lan boya, balyaj, perma gibi kimyasal i?lemler, s?k fön çektirme gibi al??kanl?klar saçlar?
    h?zl? bir ?ekilde y?pranma sürecine sokmaktad?r.
    Üstelik sa?l?ks?z beslenme düzenine sahip iseniz
    saçlar?n?z?n bak?ms?z, k?r?lgan, mat ve yava?
    uzayan saçlar olmas? da çok normaldir.

    Peki, Sa?l?kl? saç uzatman?n s?rr? nedir? Saç uzatan ?ampuanlar i?e yar?yor mu?
    Saç uzatan ?ampuan kullananlar ne diyor? Tüm bu
    sorular?n cevaplar? ve en iyi saç uzatan ?ampuan önerileri yaz?m?z?n devam?nda yer al?yor.

    https://m2.tc/OStr

  8. ?nstagram takipçi sat?n almak isteyenler bunun vakit içersinde kendi kendine olmas?n? beklerlerse hata ederler.

    Çünkü takipçi adedi az olan bir hesab? kimse takip etmek istemeyece?i amac?yla k?s?r döngüye girilir.

    Bu döngüyü k?rman?n en basit yolu ise ?nstagramtürk en iyi siteden takipçi almakt?r.
    Takipçiniz bu ?ekilde bir anda art?? gösterir. Ard?ndan ise zincirleme ?ekilde
    ?nstagram takipçileri gelmeye ba?lar. Hesab?n?z daha basit ke?fedilir ve daha çok say?da insana ula??rs?n?z.
    .
    https://linkbook.bio/instagram-takipcitr diyerek bir
    aray???n?z buluyor ise hemen linkteki siteye giri?
    yaparak diledi?iniz paketi alabilirsiniz.

  9. Cilt lekeleri, çe?itli faktörlere ba?l? olarak ortaya ç?kabilir.

    genelde akne sonras? yahut korunmas?z güne?lenme sonras?, leke
    görülebilir. Leke olu?umu çabuk olsa da basit
    basit geçmez ve ciltte kötü bir görüntü olu?turabilir.

    En iyi Leke kremi kullan?larak, lekelere veda
    edilebilir. leke kremleri günde iki defa, gündüzleri güne?
    koruyucu ile birlikte kullan?lmal?d?r.

    En ?yi Leke Kremi

    En iyi Leke kremi çe?itleri, lekenin yap?s?na ve türüne
    nazaran de?i?kenlik gösterir. Farkl? içeri?idir.
    Akne lekeleri için nicamide içerikli ürünler tercih edilir.

    hem de cildi soyucu tesiri olan, hafifçe asit
    içerikli kremler de sivilce lekelerine iyi gelir..

    Hc markas?n?n gözde ürünlerinden tedavisinde
    oldukça etkili bir tedavi yöntemidir.

    Hekimin seçece?i bir peeeling solüsyonu tüm yüze uygulan?r.

    Bu yöntemle leke tedavi olurken ayn? zamanda cilt yenilenmi? ve tazelenmi? olur.

    Yani kimyasal peeling yöntemi ile leke tedavi edilirken cilt
    gençle?tirme i?lemi de yap?lm?? olur.

    Uyguland??? bölgede yeniden yap?lanma sürecini
    ba?latt??? için pigment hücrelerinin çok bulundu?u
    lekeli alanlarda da yeniden yap?lanmay? tetikler ve o
    bölgede kümelenmi? pigment hücrelerini e?itler. Böylece
    alt?ni?ne lazer ile lekeler tedavi olurken tüm
    ciltte cilt tonu e?itsizlikleri de düzelir.

    HC Pigment-Control’ün cilt lekelerine kar?? h?zl? ve güçlü
    etkisi, Kuzey Kanada Bozk?rlar?’na özgü bir
    tarla bitkisi olan Rumeks’ten (Tyrostat™), tabiat?n yeniden canland?rma
    mucizesi olan Yeniden Dirili? Bitkisi’ne kadar birçok do?al ve
    saf aktif bile?ene dayal?d?r.
    Tüm bu aktif bile?enlerin, lekeler ve cilt ya?lanmas? üzerindeki etkileri in-vivo
    testler ve klinik laboratuvar çal??malar?yla kan?tlanm??t?r.

    Tüm cilt tiplerinde, leke problemlerini giderme ve önlemede, cilt
    tonu e?itsizli?inde, cilt ayd?nlatmas?nda, nem ihtiyac? olan ciltlerde güvenle kullan?labilir.

    Leke KRemi

  10. Instagram hizmetleri ile faaliyetine devam eden bu firmadan faydalanarak diledi?iniz kadar
    instagram takipçiye ula?abilirsiniz, Takipçi sat?n almak ayr?ca çok kolay
    Yapman?z gereken tek ?ey siteye giderek size uygun fiyati seçmek ?nstagram takipçi sat?n al 5
    tl, ,?nstagram takipçi sat?n al 2 tl ?nstagram
    takipçi sat?n al 3 tl, ?nstagram takipçi sat?n al 20 tl, Instagram 10000 takipçi Sat?n al
    gibi Rakamlardan olu?an paketleri gözden geçirebilirsiniz
    Instagram hesab?n?z? büyütmek ve yeni mü?teriler yada yani arkada?lara
    sahip olmak için çok fazla dü?ünmenize kesinlikle gerek yoktur.

    instagram takipçi sat?n al : https://rebrand.ly/takipci-satin-al

  11. We are a group of volunteers and starting a new scheme in our community.

    Your web site provided us with valuable info to work on. You have done a formidable job and our whole community
    will be grateful to you.

  12. Hello there, just became alert to your blog through Google, and found that it’s truly informative.
    I’m going to watch out for brussels. I’ll appreciate
    if you continue this in future. Lots of people will be benefited from your writing.
    Cheers!

  13. HC Hyaluronic Acid Serum, dolgunlu?unu ve esnekli?ini kaybetmi? yorgun görünümlü ciltler için özel olarak geli?tirilmi?tir.
    Farkl? moleküler boyutlara sahip özel kar???ml?
    saf Hyaluronik Asit, Yeniden Dirili? Bitkisi (Glyceryl Glucoside), Pentavitin (Saccharide Isomerate) ve Anadenanthera Colubrina
    Bark Extract içeren formülü, cildin s?k? bir görünüm kazanmas?na ve ince
    çizgilerin görünümünü düzenlemeye yard?mc? olur.

    Hyaluronik asit do?ada  »Nem M?knat?s? » olarak da bilinir.
    Kendi büyüklü?ünün 5000 kat? kadar su tutar ve cildin ihtiyac? olan nemi
    sa?layarak gün boyu nemli kalmas?n? sa?lar.

    HC Hyaluronic Acid Serum içeri?inde; cildin yüzeyinden ilk katman?na çok daha
    kolay nüfus edebilmesi için gözenek boyutundan çok daha küçük formda özel moleküllü
    Hyaluronik Asit kullan?lm?? ve bu sayede etkisi maksimum oranda artt?r?lm??t?r.

    HC Hyaluronic Acid Serumunu atopik kuruluk ya?ayan ciltlerde,
    k?r???kl?k önlemeye yard?mc? olarak ve anti-aging serum olarak kullanabilirsiniz.

    Hyaluronic Acid Serum

  14. My developer is trying to persuade me to move to .net from PHP.
    I have always disliked the idea because of the costs.
    But he’s tryiong none the less. I’ve been using Movable-type on various websites for about a year and
    am nervous about switching to another platform. I have heard great things about blogengine.net.
    Is there a way I can import all my wordpress content into it?
    Any help would be really appreciated!

  15. ?nstagram türk takipçi sat?n al hizmeti öne çikan bir profile sahip olmak isteyen ki?ilerin en fazlaca tercih
    etmesi gereken hizmetler arasinda yer almaktadir.

    Yo?unlu?un yabanci takipçiler olmasi, ayni zamanda mevcut takipçilerin de bu
    durumu sorgulamasina sebebiyet verebilmektedir.
    Bu bakimdan Türk takipçiler ile çok daha reelçi ve etken bir görüntü yaratmak olanakli hale gelmektedir, Gerçek bir instagram kullan?c?s? olarak kaliteli takipçi almak için kesinlike instagram türk takipçi sat?n al i?lemi yapmal?s?n?z

  16. Ping : cialis on line
  17. Wonderful items from you, man. I’ve bear in mind your stuff previous
    to and you are simply too magnificent. I really like what you have acquired right here, certainly like what
    you are stating and the way in which you say it. You make it
    enjoyable and you still take care of to stay it wise.
    I cant wait to learn far more from you. That is really a tremendous web site.