Résumé:
On se donne
une forme linéaire non nulle et on considère l’hyperplan vectoriel
défini par T. On pose
(c’est un hyperplan projectif) et
L’application qui à et
associe
est bien définie. C’est une opération de
sur X , simplement transitive, de sorte qu’elle fait de
un espace affine sous
.
Si ,
sont deux points de X, le vecteur
est le vecteur de
défini par
, il est indépendant du choix des représentants des points.
Situation 1 (T=x+y+z)
Soit et
,
Soient deux points de
, la formule
définit une forme linéaire sur
qui est une équation de
Pour dans
, le vecteur
de
défini par la formule
aura pour image dans
le point d’intersection des deux droites définies par
et
.
Une formule fondamentale :.
On appelle droite affine la trace sur
d’une droite projective distincte de
. Une telle droite
est l’image d’un plan vectoriel
de E, distinct de
. La droite vectorielle associée est l’intersection
et son image dans
est l’unique point à l’infini de
(appelé
de D).
Situation 1 (T=x+y+z)
Soit et
donne l’équation de
soit
, et pour déterminer la direction ,comme :
, la direction de
sera le point de
,
Deux droites et
sont dites parallèles si les droites projectives associées ont même point à l’infini.
Soit l’équation de
et
,
les droites d’équations
et
. Les droites
,
sont parallèles si et seulement si on a
.
Si f est une forme définissant une droite et si a, b sont deux points, les droites
et (ab) sont parallèles si et seulement si on a
.
Dans le plan affine, on peut définir (indépendamment de toute structure métrique) la
d’un vecteur de direction donnée.
On suppose qu’on s’est donné une équation de
. Alors, le vecteur
est un vecteur non nul de
(qu’on appelle un
de D), et si a, b sont deux points de
, on appelle mesure algébrique du vecteur
relativement à
le nombre
défini par la formule :
Exemples : situation 1 ()
Calcul du birapport: (voir article du même nom)
Soient ,
,
,
, quatre points de la droite
image d’un plan vectoriel
d’équation
,
.
Méthode 1 : (la plus courante)
Méthode 2 : Si est muni d’une base
,
, et si les vecteurs image de ces points ont pour coordonnées respectives
,
,
et
dans cette base, on a aussi :
Méthode 3 : (Très pratique )
Si et
sont les équations de deux droites passant par
et
, alors:
Vérification :
et
est un vecteur directeur de
.
donc
donc
On aura aussi , et
et pour finir:
Pour la méthode 2 on choisit ,
comme base de
Considérons maintenant les vecteurs, image de
,
a pour coordonnées dans (
,
),
,
aura pour coordonnées
,
et
donc !
Pour illustrer la méthode 3, on choisit (au hasard ?) et
on a bien et
.
Un autre exemple: parmi les applications projectives par excellence on trouve les incidences et les perspectives:
Soit une droite de
) et
un point de
, avec
.
On appelle incidence l’ application qui à une droite
passant par
, associe l’unique point d’ intersection de
et de
, montrons à travers un exemple que cette application est une homographie.
Soit et
,
a pour équation
avec
soit
Prenons et
comme base de
, et
et
comme base de
dont
est l’image, le point d’ intersection de
et de
est donné par le calcul
=
…puis les coordonnées exactes du point d’intersection seront
Exemple, avec ,
, les coordonnées du point cherché sont :
!
est bien une homographie car
où
est l’application linéaire de
dans
définie par
=
.
On appelle perspective de centre de
sur
.l’application
:
qui à
associe l’unique point d’ intersection de
et de
, montrons à travers un exemple que cette application est une homographie.
,
et
.
Prenons et
comme base de
dont
est l’image , et
et
comme base de
dont
est l’image
Soit un point de
et
son image dans
,
aura pour équation
Puis on calcule et on obtient
=
…puis les coordonnées exactes du point d’intersection seront
est bien une homographie car
où
est l’application linéaire de
dans
définie par
la matrice
Remarque , on aurait pu remarquer qu’une perspective n’est rien d’autre que la composée de deux incidences…