A propos de Paraboles 2

Surface d’équilibre d’un liquide tournant.

La vitesse de rotation étant constante, la surface du liquide est stable et donc la résultante des forces agissant sur une petite masse m de liquide situé à la distance x de l’axe doit être perpendiculaire à la tangente à la courbe au point considéré.

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on aura donc :\tan \alpha=\tan \theta

\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{mw^2x}{mg}

dy=\dfrac{w^2x}{g} dx = K x dx

et finalement y=\dfrac{Kx^2}{2} + C …ce qui correspond à l’équation d’une parabole d’axe vertical !

Le miroir parabolique..

Trouver le profil d’un réflecteur tel que tous les rayons issus d’une source ponctuelle O soient réfléchis sous forme d’un faisceau parallèle à l’axe Ox.

Soit T le point d’intersection de la tangente au point M de la courbe cherchée avec l’axe des abscisses.

Les angles d’incidence et de réflexion devant être égaux, les angles \alpha et \phi le sont aussi et donc mes \widehat{MOT}=\pi-2\alpha

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On a alors :

\tan \widehat{xOM}= \tan 2\alpha=\dfrac{2 \tan \alpha}{1-\tan^2 \alpha}

or \tan \widehat{xOM}=\dfrac{y}{x} et \tan \alpha = \dfrac{dy}{dx}=y'

On obtient alors l’équation suivante : \dfrac{y}{x}=\dfrac{2 y'}{1-y'^2} ou encore 2x= y.\dfrac{1}{y'}-yy'

Cette équation différentielle peut être résolue grâce à une dérivation par rapport à y , soit :

2\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{y'}-y\dfrac{1}{y'^2}.\dfrac{dy'}{dy}-y'-y\dfrac{dy'}{dy}, d’ où l’on tire \dfrac{dy'}{y'}=-\dfrac{dy}{y}.

Soit \ln y'=-\ln y +\ln C et y'=\dfrac{C}{y}=\dfrac{dy}{dx} puis y dy= C dx et finalement en intégrant une deuxième fois y^2=2C x+ 2K

Comme pour x=0 , \alpha =\dfrac{\pi}{4}, on obtient C^2=2 K
et finalement l’équation cherchée est y^2=2C x + C^2, qui correspont à une famille de paraboles d’axe Ox et de foyer O.

La chainette :

On appelle chainette la courbe prise par une corde souple attachée à ses deux extrémités et qui pend sous l’action de son poids.

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Considérons le tronçon AM, soumis à trois forces \overrightarrow{F} , \overrightarrow{T} et \overrightarrow{P}=pl en appelant p le poids par unité de longueur et l la longueur AM.

A l’équilibre, on a alors :

\left\{\begin{array}{cl} T \cos \alpha&= F\\ T \sin \alpha &=P\\ \end{array}\right.

Soit \tan \alpha=\dfrac{pl}{F}=\dfrac{dy}{dx} , posons a=\dfrac{F}{p} on obtient :

l=a \dfrac{dy}{dx} et comme \dfrac{dl}{dx}= \sqrt{1+y'^2} ( formule classique ), en dérivant on obtient l’équation différentielle suivante :

a \dfrac{d^2 y}{d^2 x}= \sqrt{1+y'^2}

Posons u=\dfrac{dy}{dx}, on résout a \dfrac{du}{dx}= \sqrt{1+u^2}

Soit \dfrac{du}{\sqrt{1+u^2}}=\dfrac{dx}{a}

\ln (u + \sqrt{1+u^2})=\dfrac{x}{a} +C

pour x=0 , u=0 donc C=0 et :

u + \sqrt{1+u^2}=e^{\frac{x}{a}}
Soit \dfrac{1}{u + \sqrt{1+u^2}}=e^{-\frac{x}{a}}=-u + \sqrt{1+u^2} et finalement :

2 u =e^{\frac{x}{a}}- e^{-\frac{x}{a}}

donc u=\dfrac{dy}{dx} =\dfrac{e^{\frac{x}{a}}- e^{-\frac{x}{a}}}{2}

et finalement

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….et pour les petites valeurs de x, y\approx a(1+\dfrac{x^2}{2a^2})=a+\dfrac{x^2}{2a}

La chainette diffère alors très peu d’une parabole tant que x est faible.

Remarque: le calcul de la longueur L de la chainette entre deux extrémités d’abscisses X et -X .

y=a \cosh\dfrac{x}{a} donc y'= \sinh\dfrac{x}{a}

L= \displaystyle\int_{-X}^{X} \sqrt{1+\sinh ^2 \dfrac{x}{a}}\:\text{d}x

=a\displaystyle\int_{-X}^{X} \cosh \dfrac{x}{a} \:\dfrac{\text{d}x}{a} = \left [a \sinh \dfrac{x}{a}\right ]^{-X}_{X}

10 réflexions sur « A propos de Paraboles 2 »

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