Les ensembles de nombre

On appelle ensemble naturel tout ensemble non vide et ordonné X qui vérifie les trois axiomes :

A_{1}) Toute partie non vide a un plus petit élément ;

A_{2}) Toute partie non vide et majorée a un plus grand élément ;

A_{3}) X n’a pas de plus grand élément.

Etant donnés deux ensembles naturels, il existe un, et un seul isomorphisme d’ensembles ordonnés de l’un sur l’autre.

L’isomorphisme ci-dessus permet d’« identifier » tous les ensembles naturels à l’un d’eux, que nous noterons \mathbb{N}

Etant donnés deux entiers a et b, on leur associe deux ensembles A de cardinal a et B de cardinal b, arbitrairement choisis (sous la réserve que A \cap B = \emptyset dans le cas de la somme) et on pose :

a+b =card(A\cup B) et ab=card(A\times B)

On appelle addition et multiplication les lois internes sur \mathbb{N} ainsi obtenues.

Toute partie A \subset \mathbb{N}, contenant 0 et stable par l’application f : \mathbb{N} \longmapsto \mathbb{N}, qui à n associe son successeur n', est égale à \mathbb{N}.

Soit \mathcal A (n) un prédicat sur l’univers \mathbb{N} tel que

a) \mathcal A (x) est vrai ;

b) \forall n \in \mathbb{N} \;\;\; \mathcal A (n) \Rightarrow \mathcal A (n') est vrai.

On vérifie que \{ n \in \mathbb{N}| \mathcal A (n)\} est une partie de \mathbb{N} contenant 0 et stable par f.

Alors \mathcal A (n) est vrai pour tout n \in \mathbb{N}. ( principe de récurrence )

Le couple (E, T) constitué par un ensemble et une loi interne sur un ensemble est appelé un magma.

Soit (E, T) un magma, on appelle élément régulier tout a \in E tel que :

\forall (x,y) \in E^2\;\;\; (xTa = yTa) \Rightarrow(x = y)

Un semi-groupe est un magma (E, T), où T est une loi associative et telle que tout élément de E soit régulier.

(\mathbb{N}, + ) est un semi-groupe commutatif.

On appelle relation d’équivalence sur un ensemble E tout préordre symétrique sur E, c’est-à-dire toute relation binaire sur E qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.

Une telle relation \mathscr{R} peut se noter x\;\equiv y \;(\text{modulo} \mathscr{R} ).

Soit \mathscr{R} une relation d’équivalence sur un ensemble E, on appelle classe d’équivalence de x l’ensemble \bar{x} =\{ y \in E/ x \mathscr{R} y\}.

On appelle ensemble quotient de E par \mathscr{R} et on note E / \mathscr{R} l’ensemble des classes d’équivalence.

Si E est muni d’une loi interne T, on dit que \mathscr{R} est compatible avec T si et seulement si :

(x \mathscr{R} x' \land y \mathscr{R} y') \Rightarrow ( x T y ) \mathscr{R} ( x' T y')

Il existe alors une unique loi interne \bar{T} sur E / \mathscr{R} définie par :

\forall (X,Y ) \in (E / \mathscr{R})^2 ,\;\; \forall x \in X ,\;\; \forall y \in Y: X\bar{T} Y =\phi (x T y)\phi est la surjection canonique de E dans E / \mathscr{R}.

On construit alors une extension (\mathbb{Z},+) de \mathbb{N} grâce à la méthode suivante dite de « symétrisation d’un semi groupe ».

Sur \mathbb{N} \times \mathbb{N}, on définit une addition, notée aussi + et une relation d’équivalence \mathscr{R} ainsi :

(x,y)+(x',y')= (x+x',y+y') et (x,y) \mathscr{R}(x',y') \Longleftrightarrow x+y'=x'+y

La relation \mathscr{R} est compatible avec l’addition sur \mathbb{N}\times \mathbb{N}, en effet:

(x,y) \mathscr{R}(x'',y'') \Rightarrow (x,y)+(x',y')\mathscr{R} (x'',y'')+(x',y')

Ce qui permet de munir l’ensemble (\mathbb{N}\times \mathbb{N}) / \mathscr{R} que nous noterons désormais \mathbb{Z} d’une addition, encore notée +

Soit f : \mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Z} définie par f(x)=\phi(x+k,k)\phi est la surjection canonique de \mathbb{N}\times \mathbb{N} dans \mathbb{Z}.

f(x)+f(y)= f(x+y) et f est injective en effet :

f(x)+f(y) \Longleftrightarrow \phi(x+k,k)=\phi(y+l,l) soit (x+k,k) \mathscr{R}(y+l,l) \Longleftrightarrow (x+k)+l =k+(y+l) \Longleftrightarrow x=y

Cet isomorphisme permet d’identifier \mathbb{N}=\phi(n,0) à une partie de \mathbb{Z} ou de considérer \mathbb{Z} comme une extension de \mathbb{N}.

(\mathbb{Z}, + ) est un groupe commutatif.

En effet l’addition est associative et commutative, l’élément \phi(x,x) noté e est un élément neutre pour + et tout élément \phi(x,y) de \mathbb{Z} possède un symétrique : \phi(y,x)

Munissons maintenant \mathbb{Z} d’une structure d’anneau intègre:

On utilisera pour ce faire la multiplication suivante, compatible avec \mathscr{R}

(x, y).(x', y') = (xx'+yy', xy'+yx')

On vérifiera que la multiplication ainsi définie est bien distributive par rapport à l’addition

Il existe une et une seule relation d’ordre sur \mathbb{Z} qui fasse de \mathbb{Z} un anneau totalement ordonné. Cette relation s’écrit :

x\leq y\Longleftrightarrow y-x \in \mathbb{N}.

Etant donné un anneau intègre A, il existe un corps commutatif K vérifiant les deux conditions :

i) K admet un sous-anneau isomorphe à A.

ii) K est minimal pour la condition i).

ce corps s’appelle corps des fractions de A.

Définissons sur E=\mathbb{Z} \times (\mathbb{Z}/{0}) la relation d’équivalence \mathscr{R} définie par (a, p)\mathscr{R} (a', p')\Longleftrightarrow ap' - a'p = 0 .

Les lois suivantes :

addition : (a, p)+(b, q) = (aq + bp, pq)

multiplication : (a, p) . (b, q) = (ab, pq)

sont internes sur E.

Elles sont commutatives, associatives, et la multiplication est distributive par rapport à l’addition .

Elles sont compatibles avec la relation d’équivalence , par exemple :

(a, p) \mathscr{R} (a', p') \Longleftrightarrow ap' - a'p = 0 \Longleftrightarrow (ap' - a'p)q^2 = 0

\Longleftrightarrow (aq + bp)p'q - (a'q + bp')pq = 0

\Longleftrightarrow(a, p) + (b, q)\mathscr{R} (a',p') + (b,q)

On dispose alors sur l’ensemble quotient E/ \mathscr{R} que nous noterons désormais \mathbb{Q} , de lois-quotients, que nous notons encore + et .

Soit \phi la surjection canonique de E dans \mathbb{Q}

Pour l’addition,\phi(0,1) est élément neutre, et \phi(-a,b) est opposé de \phi(a,b)

Pour la multiplication, \phi(1,1) est élément neutre, et, pour tout a non nul, \phi(a,b) admet \phi(b,a) pour inverse.

L’application \epsilon : \mathbb{Z}\rightarrow \mathbb{Q} définie par \epsilon(x)=\phi(x,1) est un morphisme d’anneau qui permet d’identifier \mathbb{Z} au sous anneau \epsilon(\mathbb{Z}) de \mathbb{Q} et de vérifier le caractère minimal de \mathbb{Q}

On écrira désormais x pour désigner l’élément \epsilon(x) de \epsilon(\mathbb{Z}) et comme \phi(a,b) peut s’écrire \epsilon(a).(\epsilon(b))^{-1} tout élélment de \mathbb{Q} prend la forme ab^{-1} que nous avons l’habitude d’écrire \dfrac{a}{b}.

(\mathbb{Q},+,.) est un corps commutatif.

 

On réalise une coupure \Gamma  dans le corps \mathbb{Q}des rationnels lorsqu’on effectue une partition de \mathbb{Q} en deux sous-ensembles complémentaires non vides X et Y tel que tout élément x du premier soit inférieur à tout élément y du second.
\forall x \in X , \forall y \in Y \Rightarrow x\leq y

Toute coupure \Gamma  détermine dans \mathbb{Q} deux classes I et S telles que :
 1° Tout élément a de I est inférieur à tout élément b de S.
 2° La classe inférieure I n’admet pas d’élément maximal et la classe  supérieure S n’admet pas d’élément minimal.
 3° Si un rationnel unique r échappe à cette répartition, la coupure est dite rationnelle et a \leq r \leq b. Sinon la coupure est dite irrationnelle et I \cup S =\mathbb{Q} .

Et on appellera  nombre réel toute coupure dans le corps \mathbb{Q} des rationnels.

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