On appelle ensemble naturel tout ensemble non vide et ordonné qui vérifie les trois axiomes :
) Toute partie non vide a un plus petit élément ;
) Toute partie non vide et majorée a un plus grand élément ;
)
n’a pas de plus grand élément.
Etant donnés deux ensembles naturels, il existe un, et un seul isomorphisme d’ensembles ordonnés de l’un sur l’autre.
L’isomorphisme ci-dessus permet d’« identifier » tous les ensembles naturels à l’un d’eux, que nous noterons
Etant donnés deux entiers et
, on leur associe deux ensembles
de cardinal
et
de cardinal
, arbitrairement choisis (sous la réserve que
dans le cas de la somme) et on pose :
et
On appelle addition et multiplication les lois internes sur ainsi obtenues.
Toute partie , contenant 0 et stable par l’application
, qui à
associe son successeur
, est égale à
.
Soit un prédicat sur l’univers
tel que
a) est vrai ;
b) est vrai.
On vérifie que est une partie de
contenant 0 et stable par
.
Alors est vrai pour tout
. ( principe de récurrence )
Le couple constitué par un ensemble et une loi interne sur un ensemble est appelé un magma.
Soit un magma, on appelle élément régulier tout
tel que :
Un semi-groupe est un magma , où T est une loi associative et telle que tout élément de
soit régulier.
est un semi-groupe commutatif.
On appelle relation d’équivalence sur un ensemble tout préordre symétrique sur
, c’est-à-dire toute relation binaire sur
qui est à la fois réflexive, symétrique et transitive.
Une telle relation peut se noter
.
Soit une relation d’équivalence sur un ensemble
, on appelle classe d’équivalence de
l’ensemble
.
On appelle ensemble quotient de par
et on note
l’ensemble des classes d’équivalence.
Si est muni d’une loi interne
, on dit que
est compatible avec
si et seulement si :
Il existe alors une unique loi interne sur
définie par :
:
où
est la surjection canonique de
dans
.
On construit alors une extension de
grâce à la méthode suivante dite de « symétrisation d’un semi groupe ».
Sur , on définit une addition, notée aussi
et une relation d’équivalence
ainsi :
et
La relation est compatible avec l’addition sur
, en effet:
Ce qui permet de munir l’ensemble que nous noterons désormais
d’une addition, encore notée
Soit :
définie par
où
est la surjection canonique de
dans
.
et
est injective en effet :
soit
Cet isomorphisme permet d’identifier à une partie de
ou de considérer
comme une extension de
.
est un groupe commutatif.
En effet l’addition est associative et commutative, l’élément noté
est un élément neutre pour
et tout élément
de
possède un symétrique :
Munissons maintenant d’une structure d’anneau intègre:
On utilisera pour ce faire la multiplication suivante, compatible avec
On vérifiera que la multiplication ainsi définie est bien distributive par rapport à l’addition
Il existe une et une seule relation d’ordre sur qui fasse de
un anneau totalement ordonné. Cette relation s’écrit :
.
Etant donné un anneau intègre A, il existe un corps commutatif K vérifiant les deux conditions :
i) K admet un sous-anneau isomorphe à A.
ii) K est minimal pour la condition i).
ce corps s’appelle corps des fractions de A.
Définissons sur la relation d’équivalence
définie par
.
Les lois suivantes :
addition :
multiplication :
sont internes sur E.
Elles sont commutatives, associatives, et la multiplication est distributive par rapport à l’addition .
Elles sont compatibles avec la relation d’équivalence , par exemple :
On dispose alors sur l’ensemble quotient que nous noterons désormais
, de lois-quotients, que nous notons encore
et
Soit la surjection canonique de
dans
Pour l’addition, est élément neutre, et
est opposé de
Pour la multiplication, est élément neutre, et, pour tout
non nul,
admet
pour inverse.
L’application :
définie par
est un morphisme d’anneau qui permet d’identifier
au sous anneau
de
et de vérifier le caractère minimal de
On écrira désormais pour désigner l’élément
de
et comme
peut s’écrire
tout élélment de
prend la forme
que nous avons l’habitude d’écrire
.
est un corps commutatif.
On réalise une coupure dans le corps
des rationnels lorsqu’on effectue une partition de
en deux sous-ensembles complémentaires non vides
et
tel que tout élément
du premier soit inférieur à tout élément
du second.
Toute coupure détermine dans
deux classes
et
telles que :
1° Tout élément de
est inférieur à tout élément
de
.
2° La classe inférieure n’admet pas d’élément maximal et la classe supérieure
n’admet pas d’élément minimal.
3° Si un rationnel unique échappe à cette répartition, la coupure est dite rationnelle et
. Sinon la coupure est dite irrationnelle et
.
Et on appellera nombre réel toute coupure dans le corps des rationnels.