Construction de Z

( \mathbb{N} , + ) est un semi-groupe commutatif. ( + est une loi associative et tout élément de \N est régulier.)

Sur \mathbb{N}  \times  \mathbb{N}, on définit une addition, notée \oplus et une relation d’équivalence \mathscr{R} ainsi :

(x;y)\oplus(x';y')= (x+x';y+y') et (x;y) \mathscr{R}(x';y') \Longleftrightarrow  x+y'=x'+y

La relation \mathscr{R} est compatible avec l’addition sur \mathbb{N}  \times  \mathbb{N}.

Exemple :

(2;5) \mathscr{R}(3;6) , (7;1) \mathscr{R}(10;4)

(2;5)\oplus(7;1)=(9;6) , (3;6)\oplus(10;4)=(13;10)

et (9;6)\mathscr{R}(13;10)

On peut alors munir l’ensemble ( \mathbb{N}  \times  \mathbb{N} ) / \mathscr{R} que nous noterons désormais \mathbb{Z} d’une loi quotient, notée \bar{\oplus} .

Exemple:

\overline{(5;0)}=\{(5;0), (6;1), (7;2), (8;3) , (9;4), ….\} , \overline{(0;3)}=\{(0;3), (1;4), (2;5), (3;6) , (4;7), ….\}

\overline{(5;0)}\bar{\oplus}\overline{(0;3)}=

\left{\begin{array}{cl}   \;\;   \phi((6;1)\oplus(3;6))=\phi(9;7)\ \text{ou}\;\; \phi((8;3)\oplus(4;7))=\phi(12;10)\ \end{array}\right.

et \phi(9;7)=\phi(12;10)=\overline{(2;0)}

\phi est la surjection canonique de \mathbb{N} \times  \mathbb{N} dans ( \mathbb{N}  \times  \mathbb{N} ) / \mathscr{R}.

Remarque :\overline{(0;0)} est l’élément neutre pour \bar{\oplus}.

Soit f : \mathbb{N} \rightarrow  \mathbb{Z} définie par f(n)=\phi(n+k,k) . f est un morphisme:

f(n)\bar{\oplus}f(n')= \phi(n+k;k)\bar{\oplus}\phi(n'+l;l)
= \phi((n+k;k)\oplus (n'+l;l))

= \phi(n+k+n'+l ; k+l) = f(n+n')

…. et f est injective :

f(n)=f(n') \Longleftrightarrow \phi(n+k ; k)=\phi(n'+l ; l) soit (n+k ; k) \mathscr{R}(n'+ l ; l)

\Longleftrightarrow (n+k)+l =k+(n'+l) \Longleftrightarrow n=n'

\mathbb{N} isomorphe à f( \mathbb{N} ) ={\phi(n;0) , n \in  \mathbb{N} } = \overline{(n;0)} que nous noterons désormais n .

Les éléments de \mathbb{Z}  \setminus  f( \mathbb{N} ) ={\phi(0;n) , n \in  \mathbb{N} } seront eux notés -n .

Notons aussi désormais \bar{\oplus} simplement +.

( \mathbb{Z} , + ) est un groupe commutatif.


Sur ( \mathbb{N}  \times  \mathbb{N}  , \mathscr{R}) , on définit maintenant l’opération \otimes ainsi:

(x;y)\otimes (x'; y') = (xx'+yy'; xy'+yx')

La relation \mathscr{R} est compatible avec \otimes sur \mathbb{N}  \times  \mathbb{N}.


Exemple :

(2;5) \mathscr{R}(3;6) , (7;1) \mathscr{R}(10;4)

(2;5)\otimes(7;1)=(19;37) , (3;6)\otimes(10;4)=(54;72)

et (19;37)\mathscr{R}(54;72)


On peut alors munir l’ensemble ( \mathbb{N}  \times  \mathbb{N} ) / \mathscr{R} de la loi quotient, notée \bar{\otimes} .

\overline{(x;y)}\bar{\otimes} \overline{(x';y')} =\phi((x;y)\otimes(x';y') .

Exemple :

\overline{(5;0)}\bar{\otimes}\overline{(0;3)}=   \phi((6;1)\otimes(3;6))=\phi(24;39)=\overline{(0;15)}

Remarque :\overline{(1;0)} est l’élément neutre pour \bar{\otimes}.

\bar{\otimes} est distributive par rapport à \bar{\oplus} .


Exemple:

\overline{(5;0)}\bar{\otimes}(\overline{(7;0)}\bar{\oplus} \overline{(0;3)})= \overline{(5;0)}\bar{\otimes}\phi((9;2)\oplus (3;6))=

\overline{(5;0)}\bar{\otimes}\phi(12;8)= \overline{(5;0)}\bar{\otimes}\overline{(4;0)}=

\phi((7;2)\otimes (6;2)) \phi(42;26) =\overline{(20;0)}

et

\overline{(5;0)}\bar{\otimes}\overline{(7;0)}\bar{\oplus} \overline{(5;0)}\bar{\otimes} \overline{(0;3)}=

\phi((7;2)\otimes(8;1))\bar{\oplus} \phi((8;3)\otimes(2;5))= \phi(58;23)\bar{\oplus} \phi(31;46)=

\overline{(35;0)}\bar{\oplus}\overline{(0;15)}= \phi((37;2)\oplus (4;19))= \phi(41;21)=\overline{(20;0)}

Remarquons au passage que
\overline{(0;n)}\bar{\otimes}\overline{(0;n')}=\overline{(nn';0)}, en effet:

\overline{(0;n)}\bar{\otimes}\overline{(0;n')}=

\phi((k;n+k)\otimes (l; n'+l))=

\phi(kl+(n+k)(n'+l);k(n'+l)+l(n+k))=

\phi(nn'+2kl+ln+kn';2kl+ln+kn')=

\phi(nn'+K;K)= \overline{(nn';0)}


Intégrité:

Supposons \overline{(x;y)}\bar{\otimes}\overline{(x';y')}=\overline{(0;0)}

\overline{(x;y)}\bar{\otimes}\overline{(x';y')} = \phi((x;y)\otimes (x';y'))=

\phi(xx'+yy';xy'+yx')= \overline{(0;0)}

\Longleftrightarrow  xx'+yy'=xy'+yx'

\Longleftrightarrow  x(x'-y')=y(x'-y')

\Longleftrightarrow {\left{\begin{array}{cl}   x=y\;\;,  \overline{(x;y)}=\overline{(0;0)}\ \;\;\;\;\text{ou}\   x'=y'\;\;,  \overline{(x';y')}=\overline{(0;0)}\ \end{array}\right.}


Notons désormais \bar{\otimes} simplement\times et :

( \mathbb{Z} ,+,\times) est un d’anneau intègre.

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