est un semi-groupe commutatif. ( + est une loi associative et tout élément de
est régulier.)
Sur , on définit une addition, notée
et une relation d’équivalence
ainsi :
et
La relation est compatible avec l’addition sur
.
Exemple :
,
,
et
On peut alors munir l’ensemble que nous noterons désormais
d’une loi quotient, notée
.
Exemple:
,
=
et
où est la surjection canonique de
dans
.
Remarque : est l’élément neutre pour
.
Soit :
définie par
.
est un morphisme:
=
= =
…. et est injective :
soit
isomorphe à
=
que nous noterons désormais
.
Les éléments de =
seront eux notés
.
Notons aussi désormais simplement +.
est un groupe commutatif.
Sur , on définit maintenant l’opération
ainsi:
La relation est compatible avec
sur
.
Exemple :
,
,
et
On peut alors munir l’ensemble de la loi quotient, notée
.
.
Exemple :
Remarque : est l’élément neutre pour
.
est distributive par rapport à
.
Exemple:
=
et
Remarquons au passage que
, en effet:
Intégrité:
Supposons
=
{
}
Notons désormais simplement
et :
est un d’anneau intègre.