A propos des paraboles….

23 février 2016 Stéphane

Vous trouverez ci-desous quelques une des propriétés les plus remarquables des paraboles, propriétés qui la plupart du temps restent tout à fait valables pour des ellipses ou des des hyperboles (voire des droites sécantes…)

Proposition 1.

Soit $P$ une parabole et soient $a$ , $b$ deux points de $P$ . Les tangentes à $P$ en $a$ et $b$ se coupent en $c$ . Soit $\Delta$ la paralléle à l’axe de symétrie de $P$ passant par $c$ . Elle coupe $P$ en $m$ en $(ab)$ en $n$ .

On a les propriétés suivantes :

1) $m$ est le milieu de $[cn]$ ,

2) $n$ est le milieu de $[ab]$ ,

3) la tangente à $P$ en $m$ est parallèle à $(ab)$ .

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Proposition 2 .

Soit $P$ une parabole et soient $a$ , $b$ , $c$ , $a'$ , $b'$ , $c'$ six points distincts de $P$ (un hexagone). On appelle respectivement $u$ , $v$ et $w$ les points d’intersection des droites $(bc')$ et $(b'c)$ , $(ca')$ et $(c'a)$ , $(ab')$ et $(a'b)$ .

Alors, $u$ , $v$ et $w$ sont alignés.
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probabilités

Quelques exercices de Probabilité classiques

21 janvier 2016 Stéphane

1) Trois livres identiques ont été rangés aléatoirement dans une armoire contenant cinq étagères, déterminer la probabilité pour que les trois livres se trouvent sur la même étagère .

2) Deux joueurs jouent avec deux dés, A gagne avec un total de 7 et B avec un total de 6. B joue en premier et ensuite A et B jouent alternativement. Déterminer la probabilité pour que A gagne .

3) Un joueur A lance deux pièces et un joueur B lance trois pièces, celui amenant le plus de fois Pile gagne, et en cas d’égalité on recommence. Quelle est la probabilité que B gagne ?

4) La probabilité pour qu’une clé se trouve dans un meuble est
égale à $\dfrac{1}{3}$ . Ce meuble contient 7 tiroirs et 6 ont déjà été fouillés en vain. Quelle est la probabilité que la clé se trouve dans le dernier tiroir ?
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probabilités, QCM

qcm probabilités

8 décembre 2015 Stéphane

[WATU 3]

géométrie

S+F=A+2 !!!! La démo.

11 novembre 2015 Stéphane

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Soit un polytope d’un espace affine de dimension 3 , on note $F$ le nombre de faces, $S$ le nombre de sommets et $A$ le nombre d’arètes, montrons que $F+S=A+2$ .
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probabilités

Pile ou Face

14 octobre 2015 Stéphane

Un lancer de pièce peut être représenté par un segment unité du quadrillage ci-dessous, dirigé toujours dans le sens des coordonnées croissantes : par exemple, Pile correspond à un vecteur unité parallèle à $Ox$ et Face à un vecteur unité parallèle à $Oy$ . Dans ces conditions, une partie quelconque sera représentée par un chemin d’origine $O$ , terminé en un certain point $M$ , et tel qu’on se déplace toujours dans le sens positif des axes.

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Si $(a,b)$ sont les coordonnées de l’extrémité $M$ , $a+b$ est le nombre de coup de la partie, $a$ le nombre de coups gagnés, et $b$ le nombre de coups perdus.

Le nombre de chemin possibles entre $O$ et $M$ , qui n’est autre que le nombre de parties possibles, qui se terminent avec $a$ coups gagnés et $b$ coups perdus, est : $N=\dfrac{(a+b)!}{a!b!}$ .

A tout chemin, qui coupe $(OA)$ en un certain point $P$ , correspond le chemin obtenu en remplaçant la portion qui joint $O$ à $P$ par sa figure symétrique par rapport à $(OA)$ . Si le premier chemin débute par $OO'$ , le deuxième débute par $OO"$ . Il existe donc autant de chemins qui rencontrent $(OA)$ en passant par $O'$ que de chemins qui rencontrent $(OA)$ en passant par $O''$ , or si $M$ est au-dessous de $(OA)$ , tout chemin qui commence par $OO''$ coupe nécessairement $(OA)$ avant d’atteindre $M$ .

Le nombre de chemins joignant $O''$ à $M$ est donc $N\dfrac{b}{a+b}$ et le nombre de chemins qui vont de $O$ vers $M$ sans rencontrer $(OA)$ est $N(1-\dfrac{2b}{a+b})=N\dfrac{(a-b)}{a+b}$ .

La probabilité pour qu’un joueur ayant gagné une partie par $a$ coups gagnés et $b$ coups perdus ait été constamment en tête sera donc $\dfrac{a-b}{a+b}$ .

Le point précédent peut être reformulé ainsi : Deux candidats A et B ont obtenu respectivement $m$ et $n$ voix (m $\geq$ n). La probabilité pour que, pendant le dépouillement, A ait eu constamment la majorité est $\dfrac{m-n}{m+n}$ .

Etudions maintenant les parties nulles.

L’extrémité M, de coordonnées ( $a,a$ ) est sur (OA) et le nombre de chemins possibles est : $N_{2a}=\dfrac{(2a)!}{(a!)^2}$ ; Cherchons alors le nombre de chemins qui ne rencontrent pas (OA) entre leurs deux extrémités O et M. Autrement dit , si deux joueurs conviennent de s’arrêter de jouer dès que se produit l’égalité, combien de parties distinctes se terminent au $(2a)^e$ coup ?

Le chemin doit rester d’un même côté de (OA). Si c’est au dessous, le $(2a-1)^e$ coup conduit au point M’ de coordonnées ( $a,a-1$ ) et les chemins cherchés sont donc ceux qui aboutissent en M’ sans rencontrer (OA).