Archives de catégorie : géométrie

LE THÉORÈME DE CÉVA.

20 juin 2017 Stéphane

Ci dessous , vous trouverez différentes façons de démontrer le théorème de Céva ainsi que quelques applications évidentes

Le théorème de Céva :

a ,b et c étant trois points de $(BC)$ , $(AC)$ et $(AB)$ , les droites $(Aa)$ , $(Bb)$ et $(Cc)$ sont concourantes si et seulement si $\dfrac{\overline{aB}}{\overline{aC}}\times\dfrac{\overline{bC}}{\overline{bA}}\times\dfrac{\overline{cA}}{\overline{cB}}=-1$

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Uniquement avec les aires…

7 novembre 2016 Stéphane

Pour commencer deux petits lemmes sur les aires :

$\bullet$ Soient $ABC$ et $ABD$ deux triangles tels que $(AB)$ et $(DC)$ soient parallèles, alors $\mathscr{A}(ABC)=\mathscr{A}(ABD)$

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On trace les parrallèles à $(AB)$ et $(AD)$ , elles se coupent en $E$ , et l’aire de chaque triangle est égale à la moitié de celle du parallèlogramme $ABED$ .

$\bullet$ Soit $ABC$ un triangle, $Q$ un point de $(CB)$ et $P$ un point de $(AQ)$ , alors $\dfrac{\overline{QC}}{\overline{QB}}=\dfrac{\mathscr{A}(QCA)}{\mathscr{A}(QBA)}$ …. $=\dfrac{\mathscr{A}(QCP)}{\mathscr{A}(QBP)}$ pour les mêmes raisons… $=\dfrac{\mathscr{A}(PCA)}{\mathscr{A}(PBA)}$ par différence (chevron)

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On utilise le fait que ces triangles ont le même hauteur.

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Birapport (partie 1)

15 octobre 2016 Stéphane

Birapport de quatre points:

Définition:

Soit $D$ une droite projective et soient $a,b,c,d$ quatre points de $D$ , avec $a,b,c$ distincts.
Soit $h$ l’unique homographie de $D$ sur $P^1(k)$ définie par $h(a) = \infty, h(b) = 0, h(c) = 1$ .
On appelle birapport des quatre points $a,b,c,d$ pris dans cet ordre l’élément $h(d) \in P^1(k) = k \cup {\infty}$ et on le note [a,b,c,d].
Soit $f : d \rightarrow d'$ une homographie. On a l’égalité :
$[a,b,c,d] = [f(a), f(b), f(c), f(d)]$ .

Les perspectives seront par la suite des homographies particulièrement utilisées ainsi que les incidences : Soit $D$ une droite et $m$ un point n’appartenant pas à $D$ . On appelle incidence l’ application qui à toute droite $\delta$ passant par $m$ associe l’unique point d’intersection $x$ de $D$ et $\delta$ .

Calcul du birapport:

Soit $D$ une droite projective et soient $a,b,c,d$ quatre points de $D$ , avec $a,b,c$ distincts, on a la formule suivante:
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